20. Распределение Пуассона и его числовые

характеристики. Привести пример. Закон распределения Пуассона. Случайная величина ,

распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное

счетное число значений: 0, 1, 2, …, m, …, с соответствующими

вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

При и биномиальный

закон распределения приближается к закону распределения

Пуассона, где a=np Математическое ожидание M(ξ)=Дисперсия D(ξ) = a.

Пример: число родившихся за определённый период близнецов,

число опечаток в большом тексте.

21. Непрерывные случайные величины.

Способы задания закона распределения

. Привести пример. Функция распределения представляет собой

универсальный способ задания СВ в том смысле,

что она существует только для дискретной СВ,

а плотность распределения – только для непрерывной.

Для непрерывной СВ функция распределения F(x)=P(ξ<x)

непрерывна в любой точке числовой прямой. Более того,

P(ξ=x₀)=0, т.е. вероятность того, что непрерывная СВ

примет заранее указанное значение, равна нулю.

F_(x) можно представить в виде интеграла

Ф ункция называется функцией плотности распределения вероятностей.

22. Плотность вероятности Основные свойства. Функция называется функцией плотности распределения вероятностей.

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1.Плотность распределения неотрицательна: .

2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице:

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

.

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

23. Числовые характеристики непрерывной СВ. Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле При этом интеграл, стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть  имеет плотность р(х) и (х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины() можно вычислить по формуле

, если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Дисперсия может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискр-ом случае, по ф-ле , где 24. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики. Пример. Равномерное распределение.Непрерывная случайная величина  имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения р_(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке:

Ф ункция распределения F_(x) равномерно распределенной случайной величины равна F_(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .

25. Показательный закон распределения. Привести пример.

Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина , принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром >0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

р_(x)=

Функция распределения показательного распределения имеет вид

F_(x)=

а математическое ожидание и дисперсия равныМ= , D= .

26. Нормальный закон распределения и его особенности. Привести пример. Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание и дисперсия

В частном случае, когда и нормальное распределение называется стандартным, и класс таких распределений обозначается .

В этом случае плотность стандартного распределения равна

,а функция распределения

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина  называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм =lnподчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны М= и

D= .