9.Формула полной

вероятности Если об обстановке опыта можно сделать 

n исключающих друг друга предположений (гипотез)  

Н₁, Н₂, ..., Н_n и если событие А может появиться

только при одной из этих гипотез, то вероятность

события Авычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁) Р(А/Н₁) + Р(Н₂) Р(А/Н₂) +...+  Р(Н_n) Р(А/Н_n).

Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе,

25 - во втором, а остальные - в третьем.

Первый и третий цехи дают продукцию отличного

качества с вероятностью 0,9, второй цех –

с вероятностью 0,7. Какова вероятность того,

что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

10. Схема Бернулли. Формула Бернулли.

Привести пример. Последовательность n независимых в

совокупности испытаний называется

схемой Бернулли, если при каждом

испытании возможны только два исхода:

появление события А (успех) и его

непоявление (неуспех), причём вероятность

появления события А в каждом из n 

независимых испытаний постоянна и равна p.

В схеме Бернулли вероятность того,

что в nиспытаниях событие А наступит ровно

m раз, вычисляется по формуле Бернулли:

, где q=1-p; ; n!=n·(n-1)·…·2·1, 0!=1.

Пример. Вероятность попадания в мишень

при каждом выстреле равна 0,4.

По мишени производится шесть независимых

выстрелов. Найдите вероятность хотя

бы одного попадания в мишень.

11. Формула Пуассона. Привести пример. Если в схеме Бернулли вероятность

pпоявления события А в каждом из n

независимых испытаний очень мала,

а число испытаний n достаточно велико,

то вероятность вычисляется приближенно

по формуле Пуассона: , a=n·p.

Эту формулу обычно применяют в тех

случаях, когда а ≤ 10.

Пример. Среди семян ржи 0,04% сорняков.

Какова вероятность, что при случайном

отборе 5000 семян обнаружить ровно 5 семян сорняков.

12. Локальная формула Муавра-Лапласа.

Привести пример.

Если в схеме независимых испытаний Бернулли число

испытаний n велико, а вероятности успеха и неудачи

не малы (например, 0,1<p<0,9), то вероятность P_n(m)

появления ровно m успехов в n испытаниях

вычисляется по формуле (локальная теорема Муавра-Лапласа):

P_n(m)= где (х)= .

Функция (х) – четная и для положительных

значений х составлена таблица ее значений.

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком

при одном выстреле р=0,75. Найти вероятность

того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

13. Интегральная формула

Муавра-Лапласа. Привести пример. Если в схеме Бернулли p существенно

отличается от 0 и 1, а n достаточно

велико, то вероятность того,

что в nнезависимых испытаниях событие

А наступит не менее раз, но менее раз,

вычисляется по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

, где –функция

Лапласа, , , причём Ф(-х)=-Ф(х), Ф(х)≈0,5 при х≥5.

Формулы Муавра-Лапласа, как правило,

используются, если 0,1<p<0,9, и дают

хорошие результаты, если npqвелико (>=20).

Пример. Вероятность появления события А

в каждом из 600 независимых испытаний равна 0,6.

Найдите вероятность того, что событие А

в этих испытаниях наступит не менее 330 и не более 375 раз