56. Контактные напряжения. Формула Герца

Определение напряжений, возникающих в местах соприкосновения тел (контактных напряжений), является задачей теории упругости, и в курсе сопротивления материалов удается либо дать без вывода формулы для определения формы и размеров площадки контакта и напряжений в окрестности этой площадки, либо вывести простейшие формулы теории контактных напряжений, например формулы, определяющие площадку контакта, сближение центров шаров и напряжения в окрестности контакта двух шаров. Однако эта задача очень важна, особенно для машиностроения, и, вероятно, ничего не говорить о контактных напряжениях в курсе сопротивления материалов невозможно.

Начало теории контактных напряжений было заложено в работе Г.Герца [378], опубликованной в 1895 г. Им рассмотрены две задачи: первоначальное точечное касание деталей, например, касание двух шаров или шара и кольца в шарикоподшипнике и первоначальное касание по линии, например, касание двух цилиндров или ролика и кольца в роликоподшипнике. При этом предполагается, что материал деталей однородный, изотропный и упругий.

Для определения удельного давления между деталями с цилиндрическими поверхностями существует формула Герца, которая для пары вогнутой и выпуклой цилиндрических

 поверхностей имеет вид

Pmax * E 1 1

C max = 0.418 * -----------*(--- - ---) 4.4.2

B R1 R2

где: R1 - радиус шейки, R2 - радиус втулки, R=R2-R1 - радиальный зазор,

 E - приведенный модуль упругости

1 1 1

------ = ------ + -------- 4.4.3

E E1 E2

E1 - модуль упругости материала шейки,

E2 - модуль упругости материала втулки,

Поскольку R< 1 1 R

(--- - ---) = --------

R1 R2 R1**2

таким образом удельные контактные давления будут:

Pmax * E * R

C max = 0.418 * -------------- 4.4.4

B * R1

Эта формула дает способы, с помощью которых можно снизить контактное давление.

Соотношение удельного давления полученного по формуле 4.4.1 , полученного по формуле Герца 4.4.4 определяется так:

K max 1 P max

------- = -------- * ------------ 4.4.5

C max 2* 0.418 E* B* R

Если сопоставить эти величины для конкретных значений использованных в примерах, то получим С max/ Р max= 2.37, откуда видно, что контактные напряжения по Герцу больше максимальных значений, получаемых традиционным расчетом.