1

Переменный синусоидальный ток. 220В, 50Гц.

Преимущества: простота преобразования в другое напряжение, простота преобразования электрической энергии в механическую.

Преимущества синусоидального: при преобразовании получается тоже синусоидальный ток, проще преобразовывать в механическую энергию.

Почему 50Гц: если меньше, то увеличиваются размеры трансформатора, больше – больше потери при преобразовании.

i=I_m sin(ωt+Ψ_i), i - мгновенное значение тока;

I_m – амплитудное значение; (ωt+Ψ_i) - фаза колебаний; ω – циклическая частота;

Т – период; ωТ = 2π; ω = 2π/Т = 2πν; ω(с^-1); Ψ_i – начальная фаза тока.

U=U_m sin(ωt+Ψ_U); e=E_m sin(ωt+Ψ_e).

Мгновенное, действующее и среднее значения

i(t) – мгновенное значение тока.

Действующее – значение постоянного тока, оказывающего такое же тепловое действие, как переменный.

Q₌ = I RT; Q_~ = ; Q₌ = Q_~;

Преобразуем квадрат sin в полусумму cos: I_~ = I₌ = I_m / - действующее значение.

Для U и E тоже самое.

Среднее значение – среднее значение величины за положительный полупериод:

I_ср = 2I_m /π.

2

Изображение основных параметров переменного тока

- i=I_m sin(ωt+Ψ_i) – аналитический, неудобен для вычисления, т.к. тригонометрические функции;

- графический (график) – более нагляден, но неточен и грамоздок;

- табличный ( t(i)) – надо строить график.

Метод векторных диаграмм

Строим вектор длиной = амплитудному значению, располагаем под углом = нач.фазе, вращаем против час.стрелки с угловой скоростью = циклической частоте ω. Тогда в любой момент времени вектор будет расположен к оси под углом ωt+Ψ_i, проекция на вертикальную ось – мгновенное значение.

Действия над синусоидальными величинами заменяются на действия над векторами.

Упрощение: 1) частота переменного тока во всех элементах цепи одинакова, вектора вращаются вместе, их заменяют на неподвижные.

2) вместо амплитудного значения часто используется действующее.

Преимущества: простота и наглядность;

Недостатки: небольшая точность.

Символический метод

Каждому вектору (каждой синусоид.величине) ставится в соответствие компл.число, модуль которого = действующему (амплитудному) значению, а аргумент – начальной фазе.

j ² = -1; 1/j = -j.

По одной оси действительные числа, по другой – мнимые. Комплексные значения – с точкой.

1. I^” = a+jb – алгебраическая форма записи компл.чисел;

2. I^” = IcosΨ_i + jIsinΨ_i – тригонометрическая форма записи, tgΨ = a/b;

3. I^” = I – показательная форма записи, I – модуль компл.числа, Ψ- аргумент компл.числа.

Действия над синусоид.величинами заменяются на действия с компл. числами.

Простой и наглядный метод.

3.

Резистор R, Ом – способность сопротивляться эл.току.

U₌ = RI₌ ; R= U/I; U=U_m sin(ωt+Ψ_U).

Все законы и правила пост.тока справедливы для переменного тока для мгновенных значений – принцип квазистационарности.

i = U/R = I_m sin(ωt+Ψ_i)

I_m = U_m/R – зак. Ома для амплитудных значений; /

I_~ = U_~/R – зак. Ома для действ.значений.

Ψ_U=Ψ_i - ток на резисторе совпадает по фазе с напряжением.

U” = U*e ^iΨU

I”= I*e ^jΨ= U*e ^jΨ/R

I”=U”/R – зак. Ома для компл.значений

Индуктивность L, Гн

E = -L di/dt

U = -e = L di/dt = L I_m ω cos(ωt+Ψ_i)= L I_m ω sin(ωt+Ψ_i +π/2)= U_m sin(ωt+Ψ_U)

U_m = I_m*ωL

I_m = U_m/X_L – зак. Ома для амплитудных значений;

I_~ = U_~/X_L – зак. Ома для действующих значений.

Ψ_U = Ψ_i +π/2 напряжение опережает ток по фазе на Т/4

U”= Ue ^jΨ - комплексное значение U.

I”= I*e ^jΨ = (U*e ^jΨ/ X_L ) * 1/e ^jπ/2 = U”/j X_L = U”/jωL = U”/ X”_L

X”_L = jωL – компл.значение индукционного сопротивления.

Ёмкость С – свойство тела накапливать электрический заряд

q= CU (Ф)

1Ф – при приложенном напряжении 1 В накапливается заряд 1 Кл (это очень много).

q= CU_m sin(ωt+Ψ_U)

i=dq/dt = CUω cos(ωt+Ψ_U) = CωU_m sin(ωt+Ψ_U+ π/2)

I_m = U_m/X_c - зак. Ома для амплитудных значений;

X_c = 1/ωC

I_~ = U_~/X_c – для действующих значений.

Ψ_i = Ψ_U + π/2 ; Ψ_U = Ψ_i - π/2 напряжение отстаёт от тока по фазе на Т/4.

U”= Ue ^jΨ - комплексное значение U.

I”= I*e ^jΨ = (U*e ^jΨ/ X_С ) * e ^jπ/2 = - U”/j X_С= U”/ X”_С

X”_С= - j – компл.значение ёмкостного сопротивления сопротивления.

4.

Последовательное соединение резистора, индуктивности и ёмкости

Правило Кирхгофа: i_R = i_C= i_L = i₀ ; I”₀ = I”_R + I”_C+I”_L

U₀ = U_R + U_C+ U_L ; U”₀ = U”_R + U”_C+ U”_L

Закон Ома: U”₀ = I”₀ R + I”₀ X”_C + I”₀ X”_L = I”₀ (R + X”_C + X”_L) ;

I”₀ = U”₀ / (R + X”_C + X”_L) ; (R + X”_C + X”_L) – общее сопротивление цепи Z”, при послед.соединении сопротивления складываются.

Z”= R + X”_C + X”_L = R + j(ωL–1/ ωC)

Z = – импеданс

I” = U”/Z” ; Z”= Ze ^jϕ ; Z” = Ue ^jΨ(u)/Ie ^jΨ(i) =(U/I)* e ^{j(Ψ(u)- Ψ(i))} ; I=U/Z – для действ.значений; ϕ= Ψ_U – Ψ_i - сдвиг фаз между током и напряжением.

Треугольник напряжений и сопротивлений

5.

Параллельное соединение элементов

Правило Кирхгофа: i_R = i_C + i_L + i₀ ; I”₀ = I”_R + I”_C + I”_L

U₀ = U_R = U_C = U_L ; U”₀ = U”_R = U”_C = U”_L

Закон Ома: I”₀ = U”₀ /R + U”₀ /X_C + U”₀ /X_L = U”₀ / Z”

1/Z” = 1/R + 1/X”_C +1/X”_L - полное сопротивление

Y” = 1/Z” – проводимость

g = 1/R ; b”_C = 1/ X”_C = jωC ; b”_L = 1/X”_L = -j/ωL;

Y” = g + b”_C + b”_L - полная проводимсть

I”₀ = U”₀ Y” ; Y”= I₀ e ^jΨ(i)/ U₀ e ^jΨ(u) = (I₀ / U₀ ) )* e ^{j(Ψ(i)- Ψ(U))} = y e ^jϕ

ϕ = Ψ_i – Ψ_U

векторная диаграмма

треугольник токов и проводимостей

6

Смешанное соединение элементов в цепи переменного тока. Пример цепи:

Первый закон (ЗТК, Закон токов Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма токов в любом узле любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов берутся с обратным знаком):

.

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Данный закон следует из закона сохранения заряда. Если цепь содержит p узлов, то она описывается p − 1 уравнениями токов. Этот закон может применяться и для других физических явлений (к примеру, водяные трубы), где есть закон сохранения величины и поток этой величины.

Второй закон (ЗНК, Закон напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Если в контуре нет ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю: для переменных напряжений . Расчет цепи:

1)все ед. приводятся в СИ

2)вычисляются комплексные знач. Реактивного сопротивления

3) Цепь разбивают на участки с одним видом соед.-я. Вычисляются Компл. значения сопротивлений участков.

4)Выясняется хар.-р соединения участков и находится полное компл. сопротивление цепи

Импеданс

5) Найти компл. значения тока и напряжения на всех элементах цепи.

7

Резонанс в цепях переменного тока

Последовательный резонанс (резонанс напряж-й)

Это резкое возрастание амплитуды колеб. при совпадении частоты вынужденных колебаний и собственной частоты системы.

Имеем цепь состоящую из активного сопротивления, ёмкостного и индуктивного.

U₀; I₀=I_R=I_C=I_L Если то сила тока будет максимальна Т.к. то ; это резонансная частота системы. Напряжение на активном сопротивлении будет Напряжения на ёмкости и индуктивности будут: ; Эти значения превышают U₀ ,но общее напряжение на элементах будет равно нулю. Векторная диаграмма:

Это явление может быть использовано для фильтрации колебаний нужной частоты. При неудачном подборе номиналов элементов, напряжения на L и C могут оказаться очень большими.

Резонанс токов (параллельный резонанс).

Имеем цепь состоящую из активного сопротивления , катушки и конденсатора, соединенных параллельно друг другу. где g, b_C и b_L величины обратные сопротивлениям (проводимости). I=Ug; Если b_L=b_C, то I₀=U/R; ; Векторная диаграмма:

8

мощность в цепи переменного тока.

Мощность в цепи постоянного тока определяется как: Мощность в цепи переменного тока в общем случае определяется как:

это коэффициент мощности, показывает расход мощности в цепи.

Треугольник мощностей:

это полная (кажущаяся) мощность.

это реактивная (обменная) мощность

9

Коэффициент мощности.

cosϕ называется коэф. мощности. Он показывает, какая часть мощности расходуется в цепи.

Если cosϕ=1, то

Если cosϕ=0,5, то

Мощность потерь определяется как . При уменьшении коэф. мощности уменьшается КПД. Чтобы этого избежать приходится увеличивать диаметр провода, и как следствие увеличивается масса ЛЭП.

Способы увеличения коэф. мощности.

cosϕ по сути косинус сдвига фаз U и I. Если сдвиг фаз уменьшить, то cosϕ увеличится.

1)Естественный способ: оптимизация режима работы трансформаторов на электростанции, т.е. их использование в номинальном режиме (полная загрузка).

Искусственный способ: подключение компенсирующих устройств, ёмкостной нагрузки.

G- генератор, R₁+L₁ –потребитель.

Ёмкость – батарея конденсаторов или синхронный компенсатор или синхронные двигатели.

10.

Многофазные цепи: трехфазная система.

Многофазной системой называется система из нескольких цепей с независимыми источниками энергии (фаз).

Наибольшее применение получила 3х фазная система, благодаря своим преимуществам:

1. более высокий КПД

2. простота преобразования электрической энергии в механическую

3. компактность трехфазных машин

Принцип получения 3х фазной системы ЭДС:

Это синхронный генератор. Чтобы получить 3х фазную систему надо использовать 3 рамки (обмотки):

Для однофазной системы:

Для 3х фазной:

Таким образом Е₁=220В, Е₂=-110-190i, E₃=-110+190i.

Соединение трёхфазной системы Звездой (Y):

Линейные напряжения – это напряжения между линейными проводами, фазовые напряжения это напряжения между каждым из фазовых проводов и нулевым проводом. В «звезде», комплексные значения линейных токов равны фазовым, и сумма компл. знач. линейных токов равна компл. значению тока в нулевом проводе.

В симметричной Звезде пропадает надобность в нулевом проводе, т.к. и сумма линейных токов равна нулю.

Соединение треугольником:

Сумма комплексных значений ЭДС в это схеме равно нулю.

Компл. знач. фазных и линейных напряжений соответственно равны. Компл. знач. линейного тока определяется по закону Кирхгофа (по рисунку). Если нагрузка симметричная, т.е. и

11

Электрические измерения.

Средства измерений электрических величин дают возможность не только полу­чать измерительную информацию о значениях электрических вели­чин, но также обеспечивают получение измерительной информации практически о любых физических величинах.

Электрические величины

Величина	Название	обозначение	СИ
Сила тока	Ампер	I	А
Электрическое напряжение, раз­ность потенциалов, ЭДС	Вольт	U	В
Кол.электричества	Кулон	Q	Кл
Электрическая мощность	Ватт	W	Вт
Электрическое сопротивление	Ом	R	Ом
Электрическая проводимость	Сименс	G	См
Электрическая емкость	Фарада	С	Φ
Индуктивность	Генри	L	Гн
Импеданс	Ом	Z	Ом
Частота	Герц	f	Гц