41) Интервальные оценки числовых характеристик случайной величины. Доверительная вероятность. Доверительный интервал.

Интервал вида где Ө­ - истинное значение оцениваемого параметра, а Ө^* - его точечная оценка, называется доверительным интервалом, а вероятность доверительной вероятностью или надежностью.

Для построения доверительного интервала требуется знать закон распределения исследуемой случайной величины. Пусть эта величина распределена по нормальному закону. Если при этом известно ее среднее квадратическое отклонение σ, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

где а – оцениваемое математическое ожидание, х_В – выборочное среднее, п – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф (t), при котором

При неизвестном среднем квадратическом отклонении доверительный интервал для математического ожидания при заданной надежности γ задается так:

Здесь s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а – критическая точка распределения Стьюдента, значение которой можно найти из таблиц по известным п и γ.

42) Основные понятия регрессионного и корреляционного анализа

Функциональная зависимость – зависимость между 2-мя величинами, которая выражается функцией y=f(x), где каждому значению х соответствует одно и только одно значение у.

Стохастическая зависимость – зависимость между СВ, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой. Один из показателей – коэффициент корреляции. Если D(X+Y) не = DX+DY, то существует стохастическая связь между Х и У.

Т.о., необходимо и достаточно, чтобы: M((X-MX)(Y-MY) не = 0 – корреляционный момент.

- коэффициент корреляции.

43) Нахождение параметров линейного уравнения регрессии методом наименьших квадратов

При совместном исследовании двух случайных величин по имеющейся выборке (х₁, у₂), (х₂, у₂),…,(x_k, y_k) возникает задача определения зависимости между ними. Если вид функции y = f (x, a, b,...) задан, то требуется найти значения коэффициентов a, b,..., при которых y_i наименее отличаются от f (x_i). В методе наименьших квадратов коэффициенты должны быть такими, что принимает минимальное значение.

Линейная зависимость y = ax + b. Если , то из условия получаем:

44) Коэффициент линейной корреляции и его свойства

Если для выборки двумерной случайной величины (X, Y): {(x_i, y_i), i = 1, 2,..., n} вычислены выборочные средние и и выборочные средние квадратические отклонения σ_х и σ_у, то по этим данным можно вычислить выборочный коэффициент корреляции

.

Коэффициент корреляции – безразмерная величина, которая служит для оценки степени линейной зависимости между Х и Y: эта связь тем сильнее, чем ближе |r| к единице.

Линейные уравнения, описывающие связь между Х и Y, называются выборочным уравнением прямой линии регрессии Y на Х:

и выборочным уравнением прямой линии регрессии Х на Y :

.

Свойства:

1 – величина статистического коэффициента корреляции не зависит от единиц измерения Х и Y.

2 – абсолютная величина статистического коэффициента вариации не превосходит 1.

3 – если коэффициент корреляции = 0, то между Х и Y нет связи.

4 – выполнение условия r = ±1 является необходимым и достаточным для того, чтобы линии регрессии Х на Y и Y на Х совпали.

5 – если статистический коэффициент корреляции r = ±1, то между Х и Y существует линейная функциональная связь.

6 – если между Х и Y существует линейная функциональная связь, то статистический коэффициент корреляции r = ±1.

45) Статистическая гипотеза. Статистический критерий проверки гипотез. Ошибки первого и второго рода. Критическая область

Статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений.

Статистическим критерием называется случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы.

В результате проверки правильности выдвинутой нулевой гипотезы ( такая проверка называется статистической, так как производится с применением методов математичес-кой статистики) возможны ошибки двух видов: ошибка первого рода, состоящая в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, заключаю-щаяся в том, что будет принята неверная гипотеза.

Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятия гипотезы – область значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Различают разные виды критических областей:

- правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K > k_кр ( k_кр > 0);

- левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < k_кр ( k_кр < 0);

- двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K < k₁, K > k₂ (k₂ > k₁).