[Править] Формулировка теоремы

Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает быстрее чем 1/r на бесконечности.^[1] Тогда F представимо в виде суммы градиента и ротора как написано ниже:

Где это оператор ньютониан (Если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).

Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

В этом случае, A называется векторным потенциалом поля F. Этот частный случай бездивергентного векторного потенциала в физике называется условием кулоновской калибровки (или нормировки).

В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

В этом случае, φ называется скалярным потенциалом поля F.

В общем случае F представимо суммой,

,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная.

[Править] Поля, определенные ротором и дивергенцией

Теорема Гельмгольца работает также в следующих условиях. Пусть C — соленоидальное векторное поле, а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

и

Если к тому же, если векторное поле F исчезает при r → ∞, тогда F единственно.^[1]

Другими словами, при определенных условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, если же оно исчезает на бесконечности, то оно может быть построено однозначно. Эта теорема имеет огромное значение в электростатике, например уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа.^[1] Как уже было написано выше:

. Скоростное поле сплошной среды в окрестности точки. Первая теорема Гельмгольца

В движущейся жидкости связь между скоростями точек имеет сложный вид. Это связано с возможностью перемещения отдельных частиц относительно им подобных, что приводит к деформации выделенного объема.

Скорость любой точки потока жидкости можно описать функцией, зависящей от координат

,

где u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) и w=w(x,y,z) -  проекции вектора скорости на оси координат;  - орты декартовых осей координат.

Любую непрерывную функцию в окрестности точки "0" можно разложить в ряд Тейлора, причем, если под понятием "окрестности" понимать область, в которой точки отстоят от "0" на очень малое расстояние , то в разложении можно ограничиться только линейными членами ряда. Для проекции на ось x получим

upofloor паркетная доска

Используя тождества

,

выражение для проекции скорости на ось x приведем к виду

      (1.3.1)

Аналогично можно получить формулы для проекций вектора скорости на оси координат y и z.

Вращательное движение тела характеризуется вектором угловой скорости. Представим вектор угловой скорости вращения через его проекции на оси координат

.

В разделе математики "Векторная алгебра" показано, что

С учетом этого, второе и третье слагаемые в правой части уравнения (1.3.1) представляют собой проекцию на ось x следующего векторного произведения

,

которое в сумме с u₀ представляет собой выражение, тождественно равное проекции скорости движения абсолютно твердого тела на рассматриваемую ось

.

Величину  называют скоростью квазитвердого движения жидкой частицы. Последние три слагаемые уравнения (1.3.1)

являются проекцией на ось x вектора деформационного движения .

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующее утверждение, известное как первая теорема Гельмгольца: скорость точек элементарного объема жидкости складывается из скоростей квазитвердого и деформационного движений. Векторная запись этой теоремы имеет вид

.                         (1.3.2)

Для выяснения смысла вектора деформационного движения рассмотрим некоторые частные случаи.

На рис. 1.3.1, а представлено движение отрезка x вдоль оси x. Пусть левый конец отрезка движется со скоростью u, а правый - со скоростью . Из-за разности скоростей длина отрезка за время t изменится на , а скорость изменения длины (скорость линейной деформации) будет . Отношение скорости линейной деформации к первоначальной длине отрезка называют относительной (удельной) скоростью линейной деформации _xx. Аналогично можно получить относительные скорости линейной деформации вдоль других координатных осей.

.

Из рассмотрения движения отрезка x вдоль оси y (рис. 1.3.1, б) следует, что если скорость его левого конца v, а правого , то за время t отрезок переместится и повернется на угол _Для малых углов

.

Угловая скорость такого поворота равна

.

Угловая скорость поворота отрезка y (рис. 1.3.1,в) равна .

Вследствие вращения отрезков x и y, расположенных первоначально под прямым углом, произойдет угловая деформация частицы в плоскости x-y. Скорость угловой деформации определяется суммой угловых скоростей поворота обоих отрезков т.е. . В гидравлике за меру скорости угловой деформации принимают половину этой суммы, т.е.

.

Аналогично получают меры скоростей угловых деформаций в плоскостях y-z и x-z

.

На основании вышеизложенного, проекции вектора деформации на оси координат можно представить в следующем виде:

        (1.3.3)

Скорости линейных и угловых деформаций образуют тензор скоростей деформации

                                  (1.3.4)

Выражение для скорости деформационного движения, с учетом этих обозначений, примет вид:

.

Определение скорости, индуцированной вихрем. Формула Био-Савара. Частные случаи – отрезок, бесконечные и полубесконечные вихри.

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения модуля вектора магнитной индукции в любой точке магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током на некотором рассматриваемом участке. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром. Лаплас проанализировал данное выражение и показал, что с его помощью путём интегрирования, в частности, можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда, если считать движение одной заряженной частицы током.

Формулировка

Пусть постоянный ток течёт по контуру γ, находящемуся в вакууме,  — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в системе СИ)

Направление перпендикулярно и , то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора определяется выражением (в системе СИ)

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

Уравнение неразрывности.

В гидродинамике уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности. Оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма

,

где  — плотность потока жидкости (или газа),  — вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами в момент времени .

Вектор называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.

Для несжимаемых жидкостей . Поэтому уравнение принимает вид

,

из чего следует соленоидальность поля скорости.

Уравнение движения вязкого газа (Навье-Стокса).

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из двух уравнений:

• уравнения движения,

• уравнения неразрывности.

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

где  — оператор Гамильтона,  — оператор Лапласа,  — время,  — коэффициент кинематической вязкости,  — плотность,  — давление,  — векторное поле скоростей,  — векторное поле массовых сил. Неизвестные и являются функциями времени и координаты , где ,  — плоская или трехмерная область, в которой движется жидкость. Обычно в систему уравнений Навье-Стокса добавляют краевые и начальные условия, например

Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.

При учёте сжимаемости уравнение Навье — Стокса принимает следующий вид:

где  — коэффициент динамической вязкости,  — «вторая вязкость».

В анализе решений уравнений заключается суть одной из открытых проблем, за решение которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть существование глобального гладкого решения задачи Коши для трехмерных уравнений Навье — Стокса. Нахождение общего аналитического решения системы Навье — Стокса для пространственного или плоского потока осложняется тем, что оно нелинейное и сильно зависит от начальных и граничных условий.

Также ряд коммерческих фирм, например Боинг, назначили свои премии.^{[источник не указан 232 дня]}

До сих пор решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях. В настоящее время существует несколько ситуаций (обусловленных простой геометрией), которые решены в аналитическом виде. В остальных случаях используется численное моделирование.

Некоторые точные решения:

1. Стационарные течения в простых каналах (течение Пуазейля, течение Тейлора-Куэтта и пр.)

2. Солитоны и нелинейные волны. Обычный солитон может являться решением системы при очень сложных граничных условиях. Впервые он наблюдался экспериментально в канале инженером Скотом Расселом.

3. Решение, которое существует конечное время (так называемые режимы с обострением, blow-up). Капнув каплю на поверхность воды, можно наблюдать всплеск, который существует конечное время, как и кольцевой вихрь ядерного взрыва. Гипотеза об этом выдвинута Jean Leray в 1933 г. Он предположил, что в жидкости турбулентность (хаос) образуется благодаря образованию точек или вихревой нити, на которой некоторая компонента скорости становится бесконечной.

4. Звуковые колебания. При малой амплитуде волн они также становятся решением. Нелинейные члены уравнения можно отбросить, так как они не влияют на решение. Решением являются гармонические функции синуса или косинуса, то есть звуковые колебания, которые мы слышим.

Основные свойства системы Навье — Стокса

1. При превышении числа Рейнольдса выше некоторого критического числа, аналитическое точное решение для пространственного или плоского потока имеют хаотический вид (так называемая турбулентность). В частном случае, оно связано с теорией Фейгенбаума или другими сценариями перехода к хаосу. При уменьшении числа Рейнольдса ниже критического, решение опять принимает не хаотический вид.

2. Исключительная чувствительность к изменению коэффициентов уравнения при турбулентном режиме: при изменении числа Re на 0,05 % решения совершенно отличаются друг от друга.

3. Существует мнение ^[1], что данное уравнение является приближенным. Это обосновывается использованием при выводе уравнения Навье-Стокса линейного уравнения для нахождения давления p, как функции его нелинейных компонентов. Такая позиция объясняет существование различных значений числа Рейнольдса (для различных частных задач), в пределах которого линейный закон осреднения корректен.

Применение

Будучи дополненным уравнениями переноса тепла и переноса массы, а также соответствующих массовых сил, система уравнений Навье — Стокса может описывать конвекцию, термодиффузию в жидкостях, поведение многокомпонентных смесей различных жидкостей и т. п.

Если же в уравнение в качестве массовой силы ввести силу Лоренца, и дополнить систему уравнениями Максвелла для поля в сплошной среде, то модель позволяет описывать явления электро- и магнитогидродинамики. В частности, такие модели успешно применяются при моделировании поведения плазмы, межзвёздного газа.

Одним из применений системы уравнений Навье — Стокса является описание течений в мантии Земли («проблема динамо»).

Также вариации уравнения Навье — Стокса используются для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности, при формировании прогноза погоды. Для описания реальных течений в различных технических устройствах приемлемую точность численного решения можно получить только при такой расчётной сетке, ячейки которой меньше самого мелкого вихря. Это требует очень больших затрат расчётного времени на современных компьютерах. Поэтому были созданы различные модели турбулентности, упрощающие расчёт реальных потоков.

Уравнение движения идеального газа (Эйлер).

Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л.Эйлера, получившего это уравнение в 1755 году. По своей сути является уравнением движения жидкости.

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

,

где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что , где ρ — плотность жидкости в данной точке, получим:

В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

Выражая конвективную производную через частные производные:

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

где — плотность жидкости, — давление в жидкости, — вектор скорости жидкости, — вектор напряжённости силового поля, — оператор набла для трёхмерного пространства.