Уравнения Лагранжа второго рода.

В этом разделе мы выведем уравнения движения механических систем с односторонними связями в форме уравнений Лагранжа второго рода. Такие уравнения  можно получить, обычным образом, если удерживающие и односторонние связи голономны. Пусть  обобщенные координаты тогда

,                                     (10.1)

Мы считаем, что функции  имеют, по крайней мере, второй класс гладкости. Тогда траектория движения  – это абсолютно непрерывная вектор-функция, производная которой  является функцией ограниченной вариации. Односторонние связи в обобщенных координатах задаются системой неравенств ,   . Из (10.1) получаем

                                                                 (10.2)

отсюда

                                                                         (10.3)

Кроме того

или, в матричной форме

                                                                                   (10.4)

Подставив (10.2) в уравнения удерживающих связей (7.3) получим систему , которая должна тождественно выполняться при всех . Отсюда

                                                                                            (10.5)

Воспользуемся матричной формой уравнений Лагранжа 1-го рода (8.11).                                                                   (10.6)

Где  – диагональная матрица, с элементами  на диагонали,  – сводный вектор сил,  – транспонированная матрица  из (7.3),  – транспонированная матрица Якоби . Домножив обе части (10.6) слева на матрицу  получим

Матрица  абсолютно непрерывна поэтому, используя формулу Лейбница (4.1) получаем на действительной траектории

                                            

Использовав (10.3, 10.4), получаем отсюда

                  

Введем кинетическую энергию системы . Тогда

                                           (10.8)

Как обычно, обозначим

                                                                             (10.9)

вектор обобщенных сил ,   , . Далее, в силу (10.5) имеем

                                                    (10.10)

Обозначим  тогда  и

                                                              (10.11)

Подставив (10.8-10.11) в (10.6) получим

                                                       (10.12)

или, в покоординатном виде

                            (10.13)

          Теорема Аппеля. Пусть в момент  траектория движения находится на границе односторонних ограничений, и скорость претерпевает скачок. Тогда вектор обобщенных импульсов  также имеет скачок. Обозначим ,  (для функции ограниченной вариации эти величины всегда существуют). Тогда из (10.13) имеем

                                      (10.14)

Где  – некие неотрицательные величины. Возьмем любой вектор , касающийся границы односторонних ограничений в точке . Тогда из (10.14) имеем . Т.е. сохраняются проекции вектора обобщенного импульса на плоскость касательную поверхности удара. Обычно это утверждение формулируется для случая, когда в окрестности точки  односторонние связи имеют простейший вид: , . Тогда сохраняются обобщенные импульсы ,

          ,  

Потенциальный случай. Если силы потенциальны и имеют силовую функцию , то введем, как обычно, функцию Лагранжа . И уравнения движения приобретут форму

                                     (10.15)

Здесь везде  – неотрицательные меры Лебега-Стилтьеса, каждая из которых сосредоточена на множестве моментов времени, в которые траектория движения выходит на границу соответствующего одностороннего ограничения .

Принцип обращения движения и гипотеза сплошности среды Аэродинамика, как любая наука, изучающая физику явлений, использует модели этих явлений, применяет различные гипотезы. Это делается для упрощения изучения сложных явлений. При этом, однако, стремятся сохранить все существенные свойства явлений и отбросить несущественные. Яркими примерами такого подхода могут служить принцип обращения движения и гипотеза сплошности среды. В аэродинамике при изучении взаимодействия воздуха с движущимися в нем телами часто для удобства используют принцип обращения движения, который заключается в том, что рассматривают не полет ЛА в неподвижном воздухе, а обтекание неподвижного ЛА набегающим потоком воздуха. При этом скорость набегающего потока равна по величине скорости полета ЛА, но противоположна по направлению. Такое обращение движения не изменяет силовое и тепловое взаимодействие аппарата и воздуха, поэтому мы будем в дальнейшем пользоваться этим принципом без дополнительных оговорок. Рассмотрим теперь гипотезу сплошности среды. Воздух представляет собой совокупность отдельных молекул, которые хаотически перемещаются в пространстве. Концентрация молекул в нижних слоях атмосферы, где происходят полеты ЛА гражданской авиации, достаточно высока, что позволяет принять гипотезу сплошности, в соответствии с которой воздух рассматривается как сплошная среда с непрерывным распределением вещества в пространстве. Практически любая научная гипотеза имеет предел применимости, т.е. ту границу, за которой ее применение будет некорректным. Гипотеза сплошности не является в этом смысле исключением. Для оценки применимости гипотезы сплошности используют критерий Кнудсена: где l - средняя длина свободного пробега молекул; L - характерный линейный размер обтекаемого тела. Если Kn < 0,01, то воздух можно считать сплошной средой. Для высот, на которых летают современные ЛА гражданской авиации, это условие выполняется. Основные параметры и свойства воздуха Основными параметрами воздуха, которые характеризуют его состояние, являются: температура, плотность и давление. Определения этих параметров известны из школьного курса физики. Напомним лишь уравнение состояния газа, которое связывает эти параметры между собой (уравнение Менделеева - Клайперона) где p - давление газа [Па]; - плотность газа [кг/м3]; m - молекулярная масса газа [кг/моль]; R - универсальная газовая постоянная ; T - температура газа [К]. К свойствам воздуха относятся вязкость и сжимаемость. Из опыта известно, что при обтекании поверхности набегающим потоком воздуха на некотором удалении от этой поверхности скорость частиц воздуха начинает уменьшаться вплоть до полного торможения частиц, непосредственно контактирующих с поверхностью (см. рис. 2). Разделим условно поток по вертикали к поверхности на отдельные слои. В этом случае слой, находящийся ближе к поверхности, будет двигаться с меньшей скоростью, чем смежный с ним слой, расположенный выше. Нижний слой будет оказывать сопротивление верхнему слою. В этом явлении проявляется вязкость воздуха, т.е. его способность сопротивляться сдвигу слоев, их относительному перемещению. При таком взаимодействии слоев между ними возникают касательные напряжения , которые пропорциональны производной скорости набегающего потока по нормали к поверхности: где - коэффициент динамической вязкости, [Па · с]; Vx - скорость набегающего потока [м / с]. Если коэффициент динамической вязкости разделить на плотность воздуха , то получится коэффициент кинематической вязкости: Динамическая вязкость воздуха возрастает при повышении температуры. Это происходит в связи с тем, что с ростом температуры скорость хаотического теплового движения молекул увеличивается. Кинематическая вязкость зависит от высоты полета. При ее увеличении кинематическая вязкость растет. Опыт показывает, что влияние вязкости на поток проявляется только на небольшом удалении от поверхности тела. Слой воздуха, где проявляется его вязкость, называется пограничным. Толщина пограничного слоя невелика, на носке тела она минимальна и увеличивается вниз по потоку (см. рис. 3). Максимальная толщина пограничного слоя во много раз меньше характерного линейного размера обтекаемого тела (на задних кромках крыльев современных самолетов гражданской авиации, летящих на высотах около 10 км, толщина пограничного слоя не превышает нескольких сантиметров)Другим важным свойством воздуха является его сжимаемость. Сжимаемостью называется свойство среды изменять свой объем при изменении давления. Это свойство воздуха определяет возможность распространения в нем малых возмущений давления в виде упругих волн сжатия-разрежения. Эти волны воспринимаются нашим слуховым аппаратом как звук. Скорость распространения звуковых волн называется скоростью звука: Воспользовавшись формулой (2), получим: Подставим в эту формулу значение универсальной газовой постоянной R и молекулярной массы воздуха M и получим: Таким образом, скорость звука однозначно определяется температурой воздуха. При повышении температуры возрастает интенсивность хаотического движения молекул газа, а значит увеличивается его сопротивляемость сжатию, т.е. газ становится менее сжимаемым. При понижении температуры наблюдается обратная картина. Так, например, с ростом высоты температура воздуха падает, что приводит к уменьшению скорости звука. При абсолютном нуле скорость звука также равна нулю, поскольку движение молекул газа отсутствует, и они теряют способность передавать малые возмущения. Следовательно, скорость звука является характеристикой сжимаемости воздуха. При рассмотрении явлений в движущемся потоке пользуются мерой сжимаемости воздуха, которой является число Маха - отношение скорости потока V к скорости звука a при данных условиях: Если M < 1, то течение называется дозвуковым, если M = 1, то течение называется звуковым (если M чуть больше или чуть меньше 1, то - трансзвуковым или околозвуковым), а если M > 1, то говорят, что течение сверхзвуковое.

Метод Эйлера изучения движения среды.

Для описания движения частицы, а через нее и жидкости, существуют два способа.

1. Метод Лагранжа. Этот метод не используется при описании волновых функций. Суть метода в следующем: требуется описать движение каждой частицы.

Начальному моменту времени t₀ соответствуют начальные координаты x₀, y₀, z₀.

Однако к моменту t они уже другие. Как видно, речь идет о движении каждой частицы. Это движение можно считать определенным, если возможно указать для каждой частицы координаты x, y, z в произвольной момент времени t как непрерывные функции от x₀, y₀, z₀.

x = x(x₀, y₀, z₀, t)

y =y (x₀, y₀, z₀, t)

z = z(x₀, y₀, z₀, t) (1)

Переменные x₀, y₀, z₀, t, называют переменными Лагранжа.

2. Метод определения движения частиц по Эйлеру. Движение жидкости в этом случае происходит в некоторой неподвижной области потока жидкости, в котором находятся частицы. В частицах произвольно выбираются точки. Момент времени t как параметр является заданным в каждом времени рассматриваемой области, которая имеет координаты x, y, z.

Рассматриваемая область, как уже известно, находится в пределах потока и неподвижна. Скорость частицы жидкости u в этой области в каждый момент времени t называется мгновенной местной скоростью.

Полем скорости называется совокупность всех мгновенных скоростей. Изменение этого поля описывается следующей системой:

u_x = u_x(x,y,z,t)

u_y = u_y(x,y,z,t)

u_z = u_z(x,y,z,t)

Переменные в (2) x, y, z, t называют переменными Эйлера.

Установившееся и неустановившееся движения газа. Линии тока, трубки тока.

Трубка тока

в гидромеханике, трубка, составленная из линий тока, проходящих через точки небольшого замкнутого контура внутри движущейся жидкости. Касательные к линиям тока совпадают с направлением скоростей движения частиц жидкости, находящихся на этих линиях. При неустановившемся движении жидкости линии тока меняются от момента к моменту, и поэтому Т. т. тоже меняет свою форму. При установившемся движении жидкости линии тока совпадают с траекториями частиц и остаются неизменными; в этом случае Т. т. сходна с трубкой с твёрдыми стенками, внутри которой происходит течение жидкости с постоянным расходом через сечение трубки. Если плотность постоянная, то Т. т. будут сужаться или расширяться в зависимости от того, будет ли скорость увеличиваться или уменьшаться. Такое поведение Т. т. имеет место и при переменной плотности (то есть для газа), но только до тех пор, пока скорость установившегося течения газа не превысит местную скорость звука; после этого дальнейшее возрастание скорости течения газа сопровождается не сужением Т. т., а её расширением.

К числу основных характеристик движущейся жидкости кроме давления и плотности, достаточных для случая покоя, относится также величина и направление скорости течения частиц жидкости, которые в общем виде можно записать

(3.1)

Отыскание функций f₁, f₂, f₃ и является задачей гидродинамики.

Движение жидкости может быть неустановившееся и установившееся.

Неустановившимся называется такое движение жидкости, при котором все его характеристики в одной и той же точке пространства изменяются с течением времени.

Если же параметры движения жидкости во времени не меняются, а зависят только от положения точки в пространстве, движение называется установившимся.

Линией тока называется линия, проходящая через последовательно движущиеся одна за другой частицы жидкости, векторы скоростей которых направлены по касательной к этой линии (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1-Линия тока

При установившемся движении линия тока совпадает с траекторией движения частицы жидкости. Две различные линии тока не пересекаются между собой.

При установившемся движении элементарной струйкой называется часть движущейся жидкости, ограниченная боковой поверхностью, образованной линиями тока, проходящими через все точки бесконечно малого замкнутого контура. Длина этой струйки неограниченна (рисунок 3.2). Элементарная струйка обладает следующими свойствами:

·  с течением времени элементарная струйка не изменяет своей формы;

·  жидкость внутри элементарной струйки движется как в трубке с тонкими стенками, не имеющими толщины, изолированно от остальной массы жидкости;

·   скорости движения частиц в каждой точке поперечного сечения элементарной струйки следует считать одинаковыми.

Рисунок 3.2 - Элементарная струйка, выделенная внутри потока

Скорость движения частиц внутри элементарной струйки называют местной скоростью (u).

Движущийся объем жидкости конечных размеров называется потоком жидкости. Поток жидкости состоит из бесконечно большого числа элементарных струек, в каждой из которых частицы жидкости движутся со своей местной скоростью (рисунок 3.3). Сечение потока, нормальное к каждой линии тока, называется живым сечением потока (ω на рисунке 3.3).

Рисунок 3.3-Поток жидкости

Количество жидкости, прошедшее через поперечное сечение струйки за единицу времени, называется расходом элементарной струйки (расход может быть объемным, массовым или весовым, в гидравлике принято использовать объемный расход жидкости). Расход элементарной струйки определяется по формуле

,

где u-местная скорость; dω - площадь поперечного сечения элементарной струйки.

Так как скорости u в разных точках живого сечения потока в общем случае различны, то расход потока можно представить в виде

(3.2)

Для упрощения гидравлических расчетов вводится понятие «средней скорости». Под средней скоростью потока понимается такая условная и одинаковая для всех точек живого сечения потока скорость, при которой расход потока будет такой же, как и при различных местных скоростях, то есть

(3.3)

тогда расход потока для данного живого сечения можно определить как

(3.4)

где  - средняя скорость потока.

Общий случай движения жидкой частицы. Поступательное, вращательное, деформационное движение жидкой частицы.

Линия тока. Элементарная струйка. Модель потока жидкости Неподвижные точки пространства при использовании метода Эйлера можно выбрать так, чтобы каждая последующая находилась на векторе скорости для предыдущей на расстоянии ds (рис. 4.2, I).В результате для данного момента времени будем иметь ломаную линию 123:n. При стремлении отрезков ds к нулю ломаная линия будет стремиться к кривой, называемой линией тока, проходящей через точку I. Можно построить такие же линии и для остальных точек II, III и т. д. Совокупность этих линий представляет мгновенную картину движения жидкости для данного момента времени. B самом общем случае движения картина для следующего момента времени будет иметь другой вид. И так, линия тока - это условная линия, проведенная внутри жидкости таким образом, что в каждой ее точке в данный момент времени вектор скорости направлен по касательной к ней. Линии тока - это векторные линии поля скоростей, дающие о нем наглядное представление.

Если через точки линии тока Ми N нормально к ней провести бесконечно малые площадки d? и для каждой точки контура этих площадок в свою очередь построить линии тока, то образуется замкнутая боковая поверхность, называемая элементарной трубкой тока (рис. 4.3). Совокупность жидких частиц, ограниченная поверхностью элементарной трубки тока и перемещающаяся внутри нее, называется элементарной струйкой жидкости. Для элементарных струек приняты два основных д опущения:

• В пределах поперечного сечения струйки скорость жидкости и считается постоянной вследствие малости его площади d?.

• Приток жидкости извне в элементарную струйку через боковую поверхность трубки тока отсутствует, эта поверхность, образованная из линий тока, считается непроницаемой для частиц, движущихся в соседних струйках.

При решении многих практических задач гидромеханики применяется так называемая струйная модель потока, по которой поток жидкости конечных размеров рассматривается как совокупность бесчисленного множества элементарных струек. Используя установленные допущения для элементарных струек, устанавливаются закономерности движения, которые затем распространяются на весь поток.

4.3. Виды движения жидкости Движение жидкости в отличие от движения твердых тел кроме поступательного и вращательного движений, характеризуется еще наличием особого вида движения, которое обусловлено деформацией объема жидкости. При рассмотрении перемещения элементарного объема жидкости, ограниченного на чертеже окружностью (рис. 4.4), из положения I в положение П на расстояние dlза время dtего движение можно представить состоящим из 3 видов:

• Поступательного, при котором центр Опереместится  в центр О'; диаметры АСи BDостаются параллельны самим себе.

• Вращательного, благодаря которому объем жидкости в положении П оказывается повернутым на угол d?, диаметры А'С'и В'D' сохраняют первоначальную длину.

• Движения, связанного с деформацией жидкого объема, вследствие которого каждый из намеченных диаметров поворачивается на угол d?? и удлиняется или укорачивается. Подобное представление трех видов движения жидкости впервые было предложено Гельмгольцем.

Вращательное движение элементарных объемов жидкости относительно своих мгновенных осей со средней угловой скоростью?называется вихревым движениемжидкости. Поступательное и деформационное движения происходят под действием сил, имеющих п отенциал. В гидравлике чаще всего рассматривается поступательное движение жидкости. В общем случае движение жидкости является неустановившимся, т. е. как уже отмечалось, параметры характеристики движения и и р зависят не только от местонахождения точки, но и от времени. Примерами неустановившегося движения  являются опорожнение резервуаров, водохранилищ, движение воды в реках при переменном уровне (при паводках, сбросах воды через плотину) и т. д. При установившемся (стационарном) движении жидкости элементы гидродинамической характеристики от времени не зависят и являются только функциями координат точки: и = f1(x, y, z);   p = f2(x, y, z). При установившемся движении линии тока являются траекториями движения частиц жидкости, а элементарная струйка приобретает свойство неизменности формы.

Установившееся движение подразделяется на равномерное и неравномерное. Равномерное движение характеризуется постоянством параметров по длине потока. Примерами такого движения являются движения в трубах постоянного сечения и в каналах правильной формы. Поле линий тока равномерного движения - семейство параллельных прямых. При неравномерном движении скорость, глубина, площади сечений потока изменяются по его длине. Из неравномерных движений можно выделить так называемое плавно изменяющееся движение, которое характеризуется малой кривизной линий тока (рис. 4.5, а) и малым углом расхождения линий тока (рис. 4.5, б). В зависимости от причин, вызывающих движение, и условий, в которых оно происходит, различают напорное и безнапорное движение.

Н апорное движение происходит в потоке, со всех сторон ограниченном твердыми стенками. Давление во всех точках потока отлично от атмосферного и может бытькак больше, так и меньше последнего. Движение происходит под действием разности давлений по длине потока, которая может быть создана водонапорной башней, питающим баком, насосной установкой. Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести при наличии свободной поверхности жидкости. Примерами безнапорного движения является движение в реках, каналах и трубах, когда сечение последних не полностью заполнено жидкостью.

Теорема о количестве движения

Теоремы о количестве движения и о моменте количества движения, хорошо известные из общей механики, находят своеобразное применение к установившимся движениям жидкостей, а также к таким неустановившимся движениям, которые во времени могут рассматриваться в среднем как установившиеся. Ценность этих теорем состоит в том, что для их применения требуются только данные о состоянии потока на граничных поверхностях рассматриваемой области, но не внутри области; это позволяет получать из них выводы о таких гидродинамических явлениях, детали которых не могут быть полностью учтены. Количеством движения массы, как известно из общей механики, называется произведение массы на скорость (количество движения есть векторная величина и имеет, как и всякий вектор, три составляющих). Согласно теореме о количестве движения изменение количества движения во времени, т. е. его производная по времени равна результирующей всех сил, приложенных к массе. Согласно теореме о моменте количества движения производная по времени от момента количества движения относительно какой-либо точки равна главному моменту относительно той же точки всех внешних сил, приложенных к массе. Применяя эти теоремы к системе материальных точек, необходимо иметь в виду (§2 гл. I), что внутренние силы, действующие внутри механической системы, при суммировании по всем массам системы на основании закона о равенстве действия и противодействия взаимно уничтожаются и что остаются только силы, обусловленные массами, не принадлежащими к системе, т.е. внешние силы. При установившемся движении какой-либо ограниченной массы жидкости изменение ее количества движения возникает исключительно вследствие перемещения ее границ. В самом деле, при установившемся движении каждая частица жидкости внутри выделенной массы заменяется на своем месте другой частицей, принимающей здесь скорость первой частицы. Поэтому для определения изменения количества движения достаточно выяснить только то, что происходит на границах выделенной массы жидкости. Для этой цели рассмотрим жидкую струйку. Прежде всего заметим, что   жидкая  струйка должна состоять все время из одних и тех же  частиц  жидкости, так как иначе нельзя будет основываться на теореме  общей  механики о количестве  движения  системы. Следовательно, во все время  движения  части жидкости, принадлежащие к  жидкой  струйке, не должны ее покидать, а  частицы  жидкости, не принадлежащие к ней, не должны в нее проникать. Это означает, что поверхности, ограничивающие выделенную массу жидкости, должны перемещаться вместе с жидкостью, т.е. они должны быть жидкими поверхностями. Таким образом, в нашей жидкой струйке ее концевые поперечные сечения должны перемещаться вместе с жидкостью, первоначально заключенной в жидкой струйке. Векторную сумму этих изменений количеств  движения  , отнесенных к единице времени, следует приравнять результирующей всех внешних сил, действующих на выделенную массу жидкости. Вместо изменений количеств движения можно рассматривать соответствующие им «реакции», т. е. силы такой же абсолютной величины, но противоположного направления. Векторная сумма этих реакций, очевидно, уравновешивается внешними силами, приложенными к выделенной массе жидкости. Следовательно, в  случае  жидкой струйки, реакция в сечении А направлена в сторону скорости WA, а в сечении В — в сторону, обратную скорости WB-

Движение  любой точки  жидкой   частицы  можно рассматривать как результат сложения  поступательного   движения  по траектории вместе с некоторой начальной точкой,  вращательного   движения  вокруг оси, проходящей через начальную точку, и  деформационного  движения, которое, в свою очередь, состоит из линейной деформации и деформации скашивания. Предыдущие три равенства дают аналитическое выражение этой теоремы. Итак, движение жидкой частицы может быть в общем случае разложено на  поступательное  движение,  вращательное  движение и движение от деформации. Этими тремя видами исчерпываются псе возможные случаи движения жидкой частицы. Конечно, такое разложение движения на простейшие не является единственным,-возможны и другие разложения. Но, как показал Гельмгольц, такое разложение наиболее правильно с динамической точки зрения: оно разделяет при кинематическом описа-яии явления те движения, которые происходят от сил разной природы. Мы увидим далее, в динамике жидкости, что силы, имеющие потенциал (сила тяжести, сила гидродинамического давления и др.), не могут вызвать в несжимаемой жидкости вращения частиц. Действие этих сил может выражаться только в поступатель-иом и  деформационном   движениях   частиц  , т. е. в таких движениях, которые соответствуют первым трем слагаемым в разложении Гельмгольца.  Вращательное  движение частиц может быть БЫЗВЭНО в несжимаемой жидкости лишь силами, не имеющими потенциала, например, силами трения. § 5. Эллипсоид скоростей деформации, Рассмотрим теперь несколько подробнее движение, происходящее от деформации частицы. Можно доказать, что компоненты скорости, происходящие от деформации, т. е. -jj Дг з Дг зг Д. , \у -2 Д:г Sj, дг, - Дг 8l by sy Дат, (25) определяют собой некоторый вектор, называемый обычно скоростью чистой деформации в точке М0, который обладает тем свойством, что его проекция на любое направление I, исходящее из точки М0, равна скорости линейной деформации вдоль этого направления I. Мы убедимся в этом, вычисляя скорость линейной деформации жидкости в направлении I. Как известно, удельные скорости линейной деформации вдоль осей координат изображаются соответственно частными производными -

Потенциальное и вихревое движение.

Вихревое движение — движение жидкости или газа, при котором мгновенная скорость вращения элементарных объемов среды не равна нулю и всюду тождественна. Количественной мерой завихренности служит вектор ω = rot v, где v — скорость жидкости; ω называют вектором вихря или просто завихренностью. Эквивалентной мерой завихренности, более удобной в теоретических построениях, является антисимметричная часть тензора градиента скорости Ω = ½(Δv-Δv_T). В декартовых координатах x1,x2,x3 связь компонент вектора ω и тензора Ω дается выражениями

ω1 = 2Ω23 ω2 = 2Ω31 ω3 = 2Ω12 Ωij = ½(dvi/dxj — dvj/dxi)

Движение называется безвихревым или потенциальным, если ω = 0, в противном случае имеет место вихревое движение.

Векторное поле вихря удобно характеризовать некоторыми геометрическими образами. Вихревой линией называется линия, касательная к которой в каждой точке направлена по вектору вихря; совокупность вихревых линий, проходящих через замкнутую кривую, образует вихревую трубку. Поток вектора вихря через любое сечение вихревой трубки одинаков. Он называется интенсивностью вихревой трубки и равен циркуляции скорости Г по произвольному контуру C, однократно охватывающему вихревую трубку Г=∫_cvds.

За редким исключением, движение жидкости или газа почти всегда бывает вихревым. Так, вихревым является ламинарное течение в круглой трубе, когда скорость распределяется по параболическому закону, течение в пограничном слое при плавном обтекании тела и в следе за плохо обтекаемым телом. Вихревой характер носит любое турбулентное течение. В этих условиях выделение класса «вихревое движение» оказывается осмысленным, благодяря тому, что при преобладании инерционных сил над вязкими (при очень больших числах Рейнольдса) типична локализация завихрености в обособленнх массах жидкости — вихрях или вихревых зонах.

Согласно классическим теоремам Гельмгольца, в предельном случае движения невязкой жидкости, плотность которой постоянна или зависит только от давления, в потенциальном силовом поле вихревые линии вморожены в среду, то есть в процессе движения они состоят из одних и тех же частиц жидкости — являются материальными линиями. Вихревые трубки при этом оказываются вмороженными в среду, а их интенсивность сохраняется в процессе движения. Сохраняется также циркуляция скорости по любому контуру, состоящему из одних и тех же частиц жидкости (теорема Кельвина). В частности, если при движении область, охватываемая данным контуром, сужается, то интенсивность вращательного движения внутри него возрастает. Это важный механизм концентрации завихренности, реализующийся при вытекании жидкости из отверстия в дне сосуда (ванны), при образовании водоворотов вблизи нисходящих потоков в реках и определяющий образование циклонов и тайфунов в зонах пониженного атмосферного давления в которые происходит подтекание (конвергенция) воздушных масс.

В жидкости, находящейся в состоянии покоя или потенциального движения, вихри возникают либо из-за нарушения баротонии, например образование кольцевых вихрей при подъеме нагретых масс воздуха — термиков, либо из-за взаимодействия с твердыми телами.

Если обтекание тела происходит при больших числах Re, завихренность порождается в узких зонах — в пограничном слое — проявлением вязких эффектов, а затем сносится в основной поток, где формируются отчетливо видимые вихри, некоторое время эволюционирующие и сохраняющие свою индивидуальность. Ососбенно эффектно это проявляется в образовании за плохообтекаемым телом регулярной вихревой дорожки Кармана. Вихреобразование в следе за плохообтекаемым телом определяет основная часть лобового сопротивления тела, а образование вихрей у концов крыльев летательных аппаратов вызывает дополнительное индуктивное сопротивление.

При анализе динамических вихрей и их взаимодействия с внешним безвихревым потоком часто используется модель сосредоточенных вихрей — вихревых нитей, представляющих собой вихревые трубки крошечной интенсивности, но бесконечно малого диаметра. Вблизи вихревой нити жидкость движется относительно нее по окружностям, причем скорость обратно пропорциональна расстоянию от нити, v = Г/2πr. Если ось нити прямолинейна, это выражение верно для любых расстояний от нити (потенциальный вихрь). В сечении нормальной плоскости это течение соответствует точечному вихрю. Система точечных вихрей представляет собой консервативную динамическую систему с конечным числом степеней свободы, во многом аналогичную системе взаимодействующих частиц. Сколь угодно малое возмущение первоначально прямолинейных вихревых нитей приводит к их искривлению с бесконечными скоростями. Поэтому в расчетах их заменяют вихревыми трубками конечной завихренности. Узкая область завихренности, разделяющая две протяженные области безвихревого движения, моделируется пеленой — поверхностью, выстланной вихревыми нитями бесконечно малой интенсивности, так, что суммарная их интенсивность на единицу длины по нормали к ним вдоль поверхности постоянна. Вихревая поверхность представляет собой поверхность разрыва касательных компонент скорости. Она неустойчива к малым возмущениям.

В вязкой жидкости происходит выравнивание — диффузия локализированных завихренностей, причем роль коэффициента диффузии играет кинематическая вязкость жидкости ν. При этом эволюция завихренности определяется уравнением

При больших числах Re движение турбулизируется, и диффузия завихренности определяется много большим коэффициентом эффективной турбулентной вязкости, не являющимся константой для жидкости и сложным образом зависящим от характера движения.

Потенциальное движение (или безвихревое) – Движение жидкости происходит без вращения жидких частиц.

Движение жидкости (воздуха), при котором вихрь скорости в каждой точке поля равен нулю. При горизонтальном Б. Д.

Потенциа́льное тече́ние ---- безвихревое движение жидкости или газа, при котором деформация и перемещение малого объема жидкости происходит без вращения (вихря). При потенциальном течении скорость жидкости может быть представлена следующим образом:

где φ(x,y,z) ---- некоторая скалярная функция, называемая потенциалом скорости течения. Движение реальных жидкостей будет потенциальным в тех областях, где действие сил вязкости ничтожно мало по сравнению с действием сил давления и в которых нет завихрений, образовавшихся за счет срыва со стенок пограничного слоя или за счет неравномерного нагревания. Необходимым и достаточным условием потенциальности течения являются равенства:

Потенциал и его свойства.

Простейшие потенциальные течения. Метод наложения потенциальных потоков. Обтекание цилиндра.

Циркуляция

Эта величина, сопряженная с величиной и + iv, называется комплексной скоростью и обозначается через W. Очевидно, что w является аналитической функцией от z или от F, следовательно, отображение плоскости ФФ на плоскость uv также является конформным. Существуют такие случаи, когда, не зная функции F(z), определяющей поток в плоскости ху, можно тем не менее заранее, на основании заданных граничных и других условий, построить картину распределения комплексной скорости w в плоскости uv. Так, например, при истечении жидкости через щель между двумя стенками (рис. 60а) заранее известны направления скорости на стенках аЪ и cd; далее известно, что на границах свободной струи скорость постоянна (это следует из уравнения Бернулли, так как на границах струи давление одинаковое); наконец, нам известны предположительные направления линий тока до истечения из щели, а также предположительное направление струи после истечения. На основании этих данных мы можем построить в плоскости uv картину распределения скоростей и рассматривать ее как некоторый поток. Если для этого потока функция F = F(w), его определяющая, известна, то можно путем обращения найти функцию w = w{F). Наконец, отделив вещественную и мнимую части комплексной переменной z, мы найдем для каждого значения Ф и Ф соответствующие им значения х. у, т.е. построим картину линий тока. Приведенных примеров достаточно, чтобы дать представление о применении методов теории функции комплексной переменной в гидродинамике. Потенциальное течение с циркуляцией. Подъемная сила крыла. Эффект Магнуса. Хотя при всех потенциальных течениях циркуляция в любой малой области потока равна нулю, тем не менее существуют такие потенциальные потоки, в которых циркуляция для всего потока в целом не равна нулю. Правда, необходимым условием для этого является многосвязность области, в которой происходит течение. Область пространства или плоскости называется многосвязной, если в ней можно провести такие замкнутые кривые, которые нельзя стянуть в точку, не разрывая их, т. е. не выходя за пределы области. Примерами двухсвязной области могут служить комната с колонной посредине или область вокруг кольца. Пусть поток занимает многосвязную область, в каждой односвязной части которой частицы движутся без вращения, следовательно, в каждой такой части циркуляция равна нулю. Далее, пусть в рассматриваемой области циркуляция вдоль какой-нибудь кривой, которую нельзя стянуть в точку, равна Г. Тогда, как легко доказать, циркуляция вдоль любой другой кривой, которую нельзя стянуть в точку и которая получается из первой непрерывной деформацией, также равна Г. В § 10 мы определили потенциал в заданной точке как значение криволинейного интеграла при интегрировании между фиксированной точкой и заданной точкой. Поскольку теперь в потоке существуют замкнутые кривые, вдоль которых циркуляция не равна нулю, а имеет некоторое значение Г, то это означает, что потенциал такого потока не является больше однозначным; наоборот, теперь он является многозначным, увеличиваясь при каждом обходе нестягиваемой в точку кривой на величину Г. Простейший плоский поток такого рода определяется потенциалом скоростей Ф = с р, где (р есть центральный угол. Этот потенциал, удовлетворяющий, как легко видеть, уравнению, возрастает при каждом полном обходе замкнутой нестягиваемой в точку кривой ((р2 = Для г = 0 скорость получается равной бесконечности; поэтому физически такой поток возможен только вне некоторого ядра конечного диаметра. Ядро может быть образовано твердым телом или вращающейся жидкостью (движение которой не является потенциальным), наконец, оно может состоять из другой, более легкой жидкости, не принимающей участия в движении. Примером последнего случая является полый водяной вихрь, в котором вода совершает круговое движение вокруг ядра из воздуха. Под действием силы тяжести свободная поверхность такого полого вихря принимает форму. Уравнение этой поверхности получается путем применения уравнения Бернулли к двум линиям тока Подобного рода воронки часто наблюдаются в реках, в ваннах (при спуске воды) и т.д. Во всех таких случаях мы имеем дело с потоками, в которых циркуляция уже существует и вызвана какими-то посторонними причинами. Другим примером потенциального потока с циркуляцией является поток около крыла самолета. Этот поток получатся из обычного потенциального потока без циркуляции путем наложения на последний циркуляционного потока, вследствие чего при обтекании крыла также возникает циркуляция. С циркуляцией тесно связано возникновение подъемной силы крыла. Без всякого расчета легко видеть, что при наложении циркуляционного потока на обычный потенциальный поток (рис. 64) скорость последнего над крылом увеличивается, а под крылом, наоборот, уменьшается. Согласно уравнению Бернулли это означает, что над крылом давление уменьшается, а под крылом увеличивается, следовательно, возникает сила, действующая на крыло снизу вверх, т. е. подъемная сила. Кут-та (Kutta) и Н. Е. Жуковский независимо друг от друга1 нашли путем теоретических расчетов, что подъемная сила на единицу длины крыла равна А = pTV, где р есть плотность жидкости, Г — циркуляция, aV — относительная скорость крыла и жидкости. Следовательно, подъемная сила прямо пропорциональна циркуляции. Вывод указанной формулы будет дан ниже Если движение начинается из состояния покоя, то, согласно теореме Томсона, в получившемся потоке циркуляция не может возникнуть даже в том случае, когда движение происходит в многосвязной области. В самом деле, в состоянии покоя циркуляция вдоль всякой замкнутой кривой равна нулю, поэтому она должна остаться равной нулю и после начала движения. В действительности же циркуляция, как правило, возникает, и причиной этого является образование поверхности раздела. Так, например, в спиральной камере, в первый момент начала движения образуется на остром ребре к поверхность раздела, из которой возникает вихрь такого же вида. В дальнейшем вихрь отрывается от ребра и уплывает вместе с потоком, но вызванная им циркуляция остается в потоке на все время. Совершенно аналогичная картина наблюдается и при движении крыла. В начале движения поток под крылом огибает заднюю кромку крыла снизу вверх, вследствие чего здесь образуется поверхность раздела, превращающаяся в вихрь. В дальнейшем вихрь отрывается от крыла и уплывает вместе с потоком, но оставляет в нем циркуляцию, равную по абсолютной величине своей циркуляции, но противоположно направленную. При этом вдоль жидких линий, заключающих внутри себя крыло и вихрь вместе, циркуляция остается равной нулю, как этого и требует теорема Томсона. Для того чтобы от присутствия крыла область пространства сделалась двухсвязной, необходимо, чтобы крыло с боков было ограничено двумя параллельными стенками или чтобы крыло простиралось в обе стороны до бесконечности. Для действительных крыльев ни одно из этих условий не соблюдается. Тем не менее циркуляция, без которой не может получиться подъемная сила, возникает и в этом случае. Она возникает вследствие отрыва вихрей, образующихся из поверхности раздела с поперечным скачком скорости Если на вращающийся круглый цилиндр набегает поток воздуха в направлении, перпендикулярном к оси цилиндра, то вокруг него возникает циркуляция такого же вида, как и вокруг крыла. В дальнейшем, мы увидим, что причиной возникновения этой циркуляции является трение. Циркуляция вокруг цилиндра создает силу, действующую на цилиндр в направлении, перпендикулярном к направлению потока, и называемую поэтому поперечной силой. На единицу длины оси цилиндра эта сила равна, как и при циркуляции вокруг крыла, pTV. Такая же сила возникает и при набегании потока на трехгранную или четырехгранную призму, вращающуюся вокруг продольной оси, на вращающийся шар и т. д. Направлена поперечная сила всегда к той стороне вращающегося тела, на которой направление вращения и направление потока совпадают. Возникновение при указанных условиях поперечной силы называется, по имени ученого Магнуса (Magnus), впервые открывшего (в 1852 г.) это явление, эффектом Магнуса. До изобретения нарезных артиллерийских орудий часто случалось, что шаровые снаряды после вылета из ствола значительно отклонялись в сторону от той траектории, по которой они должны были бы лететь. Магнус показал, что причиной такого поведения снаряда служило вращение вокруг поперечной оси, которое шаровой снаряд получал вследствие случайных причин. На основании сказанного выше это создавало условия, необходимые для возникновения поперечной силы, которая и вызывала нежелательное отклонение снаряда от намеченной траектории. Такие же боковые отклонения, часто очень значительные, наблюдаются и при полете «срезанного» мяча при игре в теннис или гольф. Несколько лет тому назад А. Флеттнер (Flettner) использовал эффект Магнуса для приведения в движение корабля энергией ветра, причем вместо парусов он установил вертикальные быстро вращающиеся цилиндры (роторы). На концах цилиндров помещались выступающие круглые диски, так как иначе воздух, расположенный выше и ниже цилиндра, засасывался в область потока с пониженным давлением и, возмущая поток, уменьшал поперечную силу. Испытания показали техническую пригодность такого роторного корабля, но в экономическом отношении он оказался менее выгодным обычных моторных судов и поэтому не получил дальнейшего применения. Эффект Магнуса можно продемонстрировать при помощи следующего опыта. Поставим на рельсы легкую тележку с вертикальным цилиндром, приводимым во вращение маленьким электромоторчиком, и начнем обдувать этот цилиндр потоком воздуха, направленным поперек рельсов (для получения такого потока можно воспользоваться настольным вентилятором). Тележка сейчас же начнет двигаться вдоль рельсов. Устанавливая вентилятор так, чтобы поток воздуха набегал на цилиндр под непрямым углом к направлению рельсов, можно исследовать движение цилиндра-паруса на разных курсах. Можно даже заставить тележку катиться против ветра под острым углом. При перемене направления вращения цилиндра тележка катится в обратную сторону. Можно произвести также следующий опыт. Приведем в быстрое вращение легкий цилиндр, расположив при этом его ось горизонтально, и предоставим цилиндру падать. Мы увидим, что вместо того, чтобы упасть вертикально вниз, цилиндр начнет планировать по довольно пологой траектории. При таком движении на цилиндр, кроме подъемной (поперечной) силы А, перпендикулярной к направлению движения, действует еще сопротивление W, направленное против движения, которое, однако, в случае длинного и узкого цилиндра и при наличии боковых дисков значительно меньше, чем подъемная сила. Равнодействующая этих обеих сил уравновешивает вес цилиндра и тем самым замедляет его падение.