- •Гидроаэромеханика.
- •1.3.3. Процессы изменения состояния газа
- •Применение термодинамических потенциалов для описания эффекта Джоуля-Томсона
- •Принцип Даламбера-Лагранжа в интегральной форме.
- •8. Уравнения Лагранжа первого рода.
- •Уравнения Лагранжа второго рода.
- •Элементы гидро- и аэродинамики
- •Вихревая теория
- •Теорема Кельвина о безвихревом движении
- •[Править] Доказательство первой теоремы Кельвина
- •[Править] Формулировка теоремы
- •[Править] Поля, определенные ротором и дивергенцией
- •Стационарный одномерный поток
- •Несжимаемая жидкость
- •Адиабатическое течение
- •Для сжимаемого идеального газа
Теорема Кельвина о безвихревом движении
В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:
-
если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.
[Править] Доказательство первой теоремы Кельвина
Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = gradφ) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть ΔЧто-то = Что-товихр. − Что-тобезвихр.. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:
где ρ — плотность жидкости, а τ — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:
а, так как div(φa) = φ diva + gradφ·a, интеграл можно преобразовать так:
где σ — поверхность, ограничивающая объем τ, а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности σ вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. ΔV = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:
из чего и следует теорема Кельвина.
[править] Кинематическая теорема Кельвина
Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:
-
частная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру.
[править] Доказательство второй теоремы Кельвина
Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.
Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:
[править] Теорема Кельвина о баротропной жидкости
Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:
-
при баротропном движении жидкости идеальной жидкости под действием потенциальных сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется.
[править] Доказательство третьей теоремы Кельвина
Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил: :
следовательно, Г — постоянная величина.
Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году.
Три теоремы Гельмгольца о вихрях.
Теорема разложения Гельмгольца
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:
-
Если дивергенция и ротор векторного поля определен в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля :
где
для всех точек области V.
Содержание [убрать]
|