Расчет доверительного интервала для случайной погрешности.

Допустим, в ходе физического эксперимента, проведена серия из n числа измерений некоторой величины x: х₁, х₂, …, х_n. Все измерения проведены в одних и тех же условиях с одинаковой степенью тщательности. Вследствие наличия погрешности, измеренные значения величины отличаются друг от друга.

Прежде всего, должны быть выявлены промахи, а соответствующие им результаты отброшены. Для этого достаточно внимательно просмотреть таблицы результатов, обращая внимание на «неестественные» значения измеряемой величины, которые резко отличаются от других. Следующим этапом обработки является выявление систематических погрешностей, которые вычисляют и учитывают в виде поправок к результатам (в наших лаб. работах мы этого не делаем).

Далее остается учесть только случайные погрешности, за оценку которых примем доверительный интервал – интервал значений величины х, в котором с заданной надежностью  находится искомое значение х. Алгоритм расчета доверительного интервала (для удобства все расчеты представляют в табличном виде):

1. Определить среднее значение величины х: .

2. Найти абсолютную погрешность каждого измерения: .

3. Определить среднее квадратичное отклонение среднего значения . Эта величина характеризует погрешность в определении среднего значения .

4. Определить по таблице коэффициент Стьюдента при заданном числе измерений n и выбранной надежности . Надежность – это вероятность, с которой искомое значение х находится внутри доверительного интервала. При обычных лабораторных измерениях достаточно ограничиться вероятностью в интервале от 0.7 до 0.9. (Таблица коэффициентов Стъюдента имеется в лаборатории).

5. Определить погрешность измерений х: .

6. Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины: и указать надежность .

Пример. Измерялся диаметр d стержня 6 раз. Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности d, а в четвертую – их квадраты.

Таблица: Расчет погрешности.

1. n	d, мм	d, мм	d2, мм2
   1	4.02	+ 0.01	0.0001
   2	3.98	- 0.03	0.0009
   3	3.97	- 0.04	0.0016
   4	4.01	+ 0 .00	0.0000
   5	4.05	+ 0.04	0.0016
   6	4.03	+ 0.02	0.0004
   сумма	24.06	–	0.0046

   среднее арифметическое значение d:

2. Средняя квадратичная погрешность :

3) Задав надежность  = 0.8, по таблице находим коэффициент Стъюдента для шести измерений t_0,8;6 = 1,48. Абсолютную погрешность данной серии измерений найдем как

.

Окончательный результат запишем в виде для  = 0.8.

Точность рассчитанной погрешности не может превышать точность самих измерений. Поэтому в данном примере погрешность округлили до сотых долей миллиметра.

Таблица. Коэффициенты Стъюдента.

	число измерений
надежность	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0.8	1.89	1.64	1.53	1.48	1.44	1.41	1.40	1.38	1.37
0.9	2.92	2.35	2.13	2.02	1.94	1.89	1.86	1.83	1.81
0.95	4.30	3.18	2.78	2.57	2.45	2.36	2.31	2.26	2.23