Расчет фермы

РАСЧЕТ ФЕРМЫ

Артамонова Е.Н.,Зайцева И.М.

Саратовский государственный технический университет г.Саратов,Россия

THE COMPUTATION FOR A GIRDER

Artamonova E.N.,Zaitseva I.M.

Saratov State Technical University

Saratov,Russia

СОДЕРЖАНИЕ.

1.Введение……………………………………………………..2 2.Понятие о ферме.Аналитический расчет плоских ферм...3

3.Геометрическая неизменяемость ферм…………………....5

4.Статический расчет ферм…………………………………...8

5.Пример расчета ферм на неподвижную нагрузку……….17

6.Дополнительные способы расчета ферм…………………25

7.Приложения………………………………………………...30

8.Литература………………………………………………….38

Приведены указания для самостоятельного решения задач по расчету плоской фермы. Разнообразие конструктивных решений ферм,применяемых в практике проектирования машиностроительных,строительных и транспортных конструкций иногда делает затруднительным проведение полной их классификации.

Классификацию ферм проведем по следующим признакам:

1) очертанию поясов фермы; 2) типу решетки; 3) типу опирания фермы; 4)

назначению; 5) уровню езды;6) характеру формирования усилий в стержнях фермы и т.п.

Для расчета стержней фермы используется основной статический метод расчета стержневых систем – способ простых сечений:сечение рассекает три связи,не параллельные и не пересекающиеся в одной точке.Целесообразно не составлять совместную систему из трех уравнений равновесия для определения трех неизвестных реакций,а стараться использовать

способы вычислений,приводящих к элементарным вычислениям:три основных варианта способа простых сечений(проекций,вырезания узлов и моментной

точки).Способ вырезания узла заключается в мысленном вырезании узла фермы с заменой действия на него стержней соответствующими усилиями.

Эти усилия связаны между собой и приложенной к стержню внешней нагрузкой (или опорными реакциями) посредством статических уравнений равновесия. Для любого узла можно составить два таких уравнения -

равенства нулю суммы проекций всех сил, например, на вертикальную и горизонтальную оси.

Способ проекций состоит в мысленном рассечении фермы на две части и рассмотрении равновесия одной из них. При этом действие отбрасываемой части на рассматриваемую должно быть заменено усилиями в стержнях ферм.

Способ моментной точки заключается в составлении уравнений равновесия в виде суммы моментов всех сил,действующих слева или справа от моментной точки.Моментная точка для искомого усилия-точка пересечения двух остальных усилий,попадающих в сечение.

Понятие о ферме. Аналитический расчет плоских ферм.

Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней,

соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферма называется плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы,

приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм, без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов п связаны соотношением

K=2n-3

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.

и раскосы образуют решетку фермы. Расстояние между соседними узлами пояса фермы называется панелью.

Классификацию ферм обычно проводят по пяти признакам:

1) характеру очертания внешнего контура; 2) типу решетки; 3)

типу опирания фермы; 4) назначению; 5) уровню езды.

По характеру очертания различают фермы с параллельными поясами

(рис.1, а), треугольные фермы (рис.1, б) и с ломанным, или полигональным расположением поясов (рис.1, в).

a)

б)

в) Рис.1

Фермы, как правило, проектируют таким образом, чтобы основная нагрузка

на них передавалась через узлы верхнего или нижнего пояса. Наличие шпренгелей позволяет увеличить количество узлов в этом поясе, что может потребоваться для облегчения конструкций, с помощью которых внешняя нагрузка передается на узлы фермы или, например, для уменьшения ширины плит перекрытий, опирающихся на стропильные фермы здания.

Геометрическая неизменяемость ферм

Для обеспечения геометрической неизменяемости необходимо, во-

первых, чтобы связей, наложенных на перемещение узлов фермы было достаточно, во-вторых, они были правильно размещены.

Следовательно, исследование геометрической неизменяемости фермы состоит из двух шагов: проверки достаточности числа связей и анализе правильности их размещения (структурном анализе фермы).

Как обычно, при анализе геометрической неизменяемости смещения,

вызванные деформированием стержней в расчет не берутся. Иными словами,

при анализе геометрической неизменяемости ферм, как и любых других стержневых систем, будем считать стержни абсолютно жесткими.

Каждый узел плоской фермы имеет две степени свободы, т.е. имеет возможность линейного смещения, например, в вертикальном и горизонтальном направлениях. Следовательно, минимальное количество связей, необходимых для закрепления узлов фермы от смещений, должно равняться удвоенному числу узлов. Часть из этих связей должна обеспечивать закрепление фермы относительно основания. Таким образом,

минимальное число стержней в ферме, необходимое для обеспечения ее геометрической неизменяемости определяется по формуле:

где N - число стержней в ферме,nузл -число узлов, а n-число опорных связей.

Условие (1) одновременно является условием статической определимости фермы. Действительно, для каждого узла можно составить два уравнения равновесия- условия равенства нулю проекций на вертикальную и горизонтальную оси всех действующих на узел внешних сил и сил, действующих со стороны стержней и реакций опор. Неизвестными же являются продольные усилия в каждом стержне и реакции в опорах. Записав

где Х - вектор неизвестных усилий в стержнях и опорных связях, В - вектор проекций внешних нагрузок на узлы, А - матрица системы.

Для того, чтобы система (2) была замкнутой, необходимо чтобы число

уравнений совпадало с числом неизвестных, т.е. выполнялось условие

(1).

Если количество стержней в ферме будет больше, чем требуется согласно (1), то ферма будет статически неопределимой, если меньше - то геометрически изменяемой.

При этом, важно отметить, что условие (1) является необходимым, но не достаточным для обеспечения геометрической неизменяемости. Как уже упоминалось, кроме обеспечения необходимого числа связей, требуется их правильное размещение.

Рис.2

Систему, в которой невозможны взаимные смещения узлов, в

предположении, что все стержни абсолютно жесткие, называют жестким диском. В шарнирном треугольнике (например, ABC на рис.2) взаимное смещение узлов будет невозможным, следовательно он является жестким диском. Присоединение к такому треугольнику еще одного узла двумя не лежащими на одной прямой связями приведет к образованию системы, в

которой также взаимные смещения узлов будут невозможны. Если продолжить этот процесс, то полученная система также будет жестким диском. Примером жесткого диска является простейшая ферма, т.е. ферма,

состоящая из шарнирных треугольников (рис.2). Взаимные смещения узлов в такой фермы невозможны. Остается только позаботиться о прикреплении полученной простейшей фермы к основанию.

Для того, чтобы обеспечить неподвижность простейшей фермы относительно основания, необходимы как минимум три опорных связи,

линии действия которых не параллельны и не пересекаются в одной точке.

Статический расчет фермы

Статический расчет фермы заключается в определении реакций в ее опорах и нахождении усилий в ее стержнях.

Для статически определимых ферм для решения данной задачи, как известно, достаточно только уравнений равновесия. Составив для каждого узла по два уравнения равновесия проекций всех сил на вертикальную и горизонтальную оси, получим замкнутую систему уравнений (2), решив которую найдем усилия во всех стержнях фермы и реакции опор. Данный алгоритм может быть относительно просто реализован в виде программы для ЭВМ. Кроме того, статический расчет фермы может быть выполнен с применением программных комплексов на основе метода конечных элементов.

В то же время, при расчете ферм с небольшим количеством стержней, а

также при проверке результатов расчетов, полученных на ЭВМ, может потребоваться использование простейших приемов определения усилий в стержнях ферм. К ним относятся способ вырезания узлов,способ сечений(проекций) и метод моментной точки.

Способ вырезания узлов уже использовался нами при статическом анализе геометрической неизменяемости фермы. Он заключается в мысленном вырезании узла фермы с заменой действия на него стержней соответствующими усилиями. Эти усилия связаны между собой и приложенной к стержню внешней нагрузкой (или опорными реакциями)

посредством статических уравнений равновесия. Для любого узла можно составить два таких уравнения - равенства нулю суммы проекций всех сил,

например, на вертикальную и горизонтальную оси. Очевидно, если в узле

сходятся два стержня, то из этих уравнений могут быть найдены усилия в обоих из них. Если узел соединяет три стержня, но усилие в одном из них уже найдено из рассмотрения равновесия другого узла или использованием способа сечений, то из этих двух уравнений могут быть найдены усилия в двух оставшихся стержнях.

Способ сечений состоит в мысленном рассечении фермы на две части и рассмотрении равновесия одной из них. При этом действие отбрасываемой части на рассматриваемую должно быть заменено усилиями в стержнях ферм. Если провести сечение таким образом, чтобы оно проходило через три стержня, то можно составить уравнения равновесия для рассматриваемой части фермы таким образом, чтобы найти усилия во всех трех стержнях.

Способ моментной точки заключается в составлении уравнений равновесия в виде суммы моментов всех сил,действующих слева или справа от моментной точки.Моментная точка для искомого усилия-точка пересечения двух остальных усилий,попадающих в сечение.

ля фермы вводятся следующие ограничения:

1) все стержни фермы являются абсолютно твердыми и пря-

молинейными;

2)весом стержней пренебрегают, считая их невесомыми;

3)внешние силы приложены только в узлах фермы;

4)все узлы фермы – идеальные шарниры, то есть трением в шарнирах пренебрегают.

Такие ограничения не вполне соответствуют действительно-

сти (в реальных фермах стержни соединены не идеальными шарни-

рами, а посредством сварки или заклёпок, стержни весомы, внешние силы не обязательно приложены к узлам и т.д.). Однако такие до-

пущения облегчают расчёт фермы, а результаты вычисления при этом вполне пригодны для практики.

Замена реальной фермы некоторой абстрактной моделью при-

водит к тому, что стержни фермы будут подвержены только растя-

гивающим или сжимающим усилиям, направленным вдоль стерж-

ней.

Прежде чем приступить к расчёту фермы, необходимо выяс-

нить, является ли заданная ферма статически определимой (число неизвестных в задаче не должно превышать числа уравнений равно-

весия). Условие статической определимости можно легко получить из следующих соображений. Так как ферма плоская, то система всех внешних сил и сил реакции при определении опорных реакций бу-

дет являться плоской произвольной системой сил, для которой мож-

но записать три уравнения равновесия и, следовательно, число неиз-

вестных не может быть больше трёх. Кроме того, в каждом стержне фермы действует неизвестная по величине и направлению внутрен-

няя сила. Таким образом, всего неизвестных в задаче может быть m+ 3, где m – число стержней. Действие внутренних сил можно оп-

ределить, мысленно вырезая каждый узел. В силу ограничений, на-

ложенных на ферму, о которых говорилось выше, к каждому узлу будет приложена плоская сходящаяся система сил, для которой можно записать два уравнения равновесия. Так как узлов в ферме n,

то всего уравнений равновесия для всех узлов будет 2n. Приравни-

вая число неизвестных к числу уравнений равновесия, получим формулу

m + 3 = 2n или m = 2n – 3.

Эта формула представляет собой условие статической опреде-

лимости задачи, и она совпадает с формулой (1). Таким образом,

формула (1) одновременно является условием жёсткости и статиче-

ской определимости фермы.

Для того чтобы рассчитать ферму, необходимо последова-

тельно выполнить следующие этапы:

а) внимательно изучить условия задачи;

б) проверить ферму на жёсткость и статическую определимость;

в) определить опорные реакции фермы;

г) произвести проверку полученных значений опорных реакций;

д) выбрать метод расчёта усилий в стержнях фермы и с его по-

мощью найти усилия во всех стержнях фермы по величине и на-

правлению.

Для расчёта усилий во всех стержнях существует две группы методов расчёта – аналитические и графические. К аналитическим относятся: 1) способ вырезания узлов; 2) метод сквозных сечений

;3)метод моментной точки[2,стр.101]. К графическим–1) построение силовых многоугольников для каждого узла; 2) построение диаграммы Максвелла– Кремоны.

МЕТОД ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ (АНАЛИТИЧЕСКИЙ)

Основная идея этого способа заключается в том, что если вся ферма находится в равновесии, то и каждый её узел также находится в равновесии. Усилия во всех стержнях определяются последова-

тельным вырезанием всех узлов фермы. Причём при переходе к сле-

дующему узлу выполняется аксиома сил действия и противодейст-

вия для усилий в стержнях, определённых ранее.

Как уже говорилось выше, в силу ограничений, наложенных на ферму, все внешние силы и силы реакций рассечённых стержней

(эти силы реакций по модулю равны внутренним усилиям в стерж-

нях) будут представлять собой для каждого вырезанного узла пло-

скую сходящуюся систему сил, для которой можно записать два уравнения равновесия. Следовательно, можно рассчитывать усилия в стержнях только в таких узлах, в которых содержится не более двух стержней, усилия в которых неизвестны, независимо от то-

го, сколько стержней закреплено в узле. Учитывая это, узлы, с кото-

рых можно начинать расчёт усилий в стержнях фермы, должны со-

держать только два стержня. Например, в ферме, представленной