Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Вопросы Экз ЭАиКА 2011-12 (1).doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.08.2019
Размер:
158.72 Кб
Скачать

Вопросы к экзамену по дисциплине «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» для студентов III курса специальности «Информатика» Вопросы на 2 балла

(Вопросы, не ответив на два из которых, получаете 2 балла в любом случае. То есть это понятия, которые являются базовыми)

  1. Что такое алгебра?

  2. Что такое алгебраическая система?

  3. Что такое отношение эквивалентности?

  4. Что такое группа?

  5. Что такое нейтральный элемент?

  6. Что такое моноид?

  7. Что такое гомоморфизм?

  8. Что такое кольцо?

  9. Что такое поле?

  10. Что такое ядро гомоморфизма?

  11. Теорема Фробениуса.

  12. Алгоритм Евклида

  13. Функция Эйлера

  14. Что такое идеал?

  15. Что такое факториальность?

  16. Что такое модулярная арифметика?

  17. Китайская теорема об остатках.

  18. Что такое гиперкомплексное число?

  19. Что такое таблица Кэли?

  20. Что такое класс вычетов?

Теперь непосредственно сами вопросы к экзамену. Жёлтым я выделил вопросы, которые можно не учить. Их не будет в билетах, но если вы сможете ответить на них – большой положительный плюс . Если вы считаете, что какие-то вопросы очень обширны – сообщите и я разделю их на пару вопросов поменьше.

Вопрос

Лит-ра

Понятие алгебры. Алгебраической системы. Отношения. Бинарные отношения. Свойства отношений. Классы эквивалентности. ПСПКЭ. Фактормножества.

[1], [2], [3], [6], [15, гл. 2], [23, гл. 1-2], [24], [27], [28], [29]

[4.1]

Операции. Арность. Свойства операций. Замкнутость относительно операции. Нейтральные элементы. Регулярные элементы. Теорема о единственности нейтрального элемента. Симметричные элементы. Теорема единственности.

[1], [2], [3], [6], [15, гл. 2], [23, гл. 1-2], [24], [27], [28], [29]

Понятие булевых алгебр. Примеры булевых алгебр.

[15, п. 5.1-5.2], [27], [28], [29]

Гомоморфизмы алгебр. Изоморфизмы. Теорема о гомоморфизмах. Теоремы об изоморфизмах.

[2], [3 Гл.4, § 3], [6], [24], [27], [28], [29]

Решётки (структуры). Понятие цепи. Структуры с условием обрыва убывающих (возрастающих) цепей. Дедекиндовы решётки.

[6 §5], [15, гл. 9], [23, гл. 1-2], [24], [27], [28], [29]

[4.1]

Многоосновные алгебры. Алгебра алгоритмов Глушкова. Многоосновная алгебра многосортных термов. Регулярные выражения.

[4.1]

Понятие полугруппы, группоида, моноида, группы. Теорема Маркова-Поста. Определение. Носитель. Порядок.

[2], [3, Гл.4, § 2, 4], [6], [15, гл. 7], [23, гл. 2], [24], [27], [28], [29]

Подгруппы. Критерий подгруппы. Смежные классы по подгруппе (правые, левые). Нормальные делители. Факторгруппа.

[2], [3, Гл.4, § 4, 5], [6], [15, гл. 7], [24], [28], [29]

Ядро и образ гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Критерий нормальности подгруппы.

[2], [3], [27], [28], [29]

Понятие полной структуры, полукольца, кольцоида, кольца, коммутативного кольца. Область целостности. Подкольца. Критерий подкольца. Примеры колец.

[2], [3], [15, гл. 10], [23, гл. 2], [24], [27], [29]

Числовые системы. Аксиоматика Пеано. Моноид натуральных чисел. Свойства моноида . Операция разности. Кольцо целых чисел . Упорядоченная система целых чисел.

[1], [6, § 6], [22]

Понятие поля. Поле частных области целостности. Поле рациональных чисел .

[2], [3], [6, § 6], [15, гл. 10], [22]

Понятие порядка. Частичный, полный, строгий, линейный порядок. Принцип трансфинитной индукции. Теорема Цермело.

[6, § 5], [22], [24]

Архимедовский порядок. Упорядоченные поля.

[1], [2], [3], [6 § 7], [22], [29], [4.1]

Поля. Свойства полей. Поле действительных чисел. Его порождение из поля рациональных. Подполе. Свойства подполя. Алгебраическое расширение поля. Конечное расширение поля.

[1], [2], [3], [15, гл. 10-12], [29], [4.1]

Поля. Свойства полей. Алгебраическое расширение поля. Конечное расширение поля. Тела. Поле комплексных чисел.

[1], [2], [3], [16.1], [16.2], [20], [22]

Последовательность числовых структур. Порождение последующих. Гиперкомплексные числа. Тело кватернионов. Числа Кэли (октонионы, октавы). Альтернативные алгебры. Примеры. Другие виды чисел. Теорема Фробениуса.

[2], [3], [6 § 9], [16.6], [20], [22], [29]

Реляционная алгебра. Тип. Домен. Операции РА: проекция, выборка (селекция), объединение, пересечение, разность, произведение, -соединение, экви-соединение. Применение в теории баз данных.

[27], [4.2]

Преобразования в векторных пространствах компьютерной алгебры. Теорема Шаля. Группы преобразований плоскости и пространства.

[4.2]

Алгебра списковых структур. Реализация списков в программировании.

[14.а)], [26], [27]

[4.2]

Метод Карацубы компьютерного умножения чисел.

[1], [25]

Теорема Риша о представлении экспонент и логарифмов.

Самостоятельно

Метод Барейса компьютерного умножения матриц.

Самостоятельно

Понятие делимости в кольце целых чисел. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком. Ассоциированные числа. Теорема о соотношении Безу.

[1], [2], [3], [7], [20], [25], [30]

Простые числа. Каноническое разложение числа на простые множители. Основная теорема арифметики. Теорема Евклида. Решето Эратосфена.

[1], [2], [3], [7], [30]

НОД. НОК. Свойства НОД и НОК. Связь НОД и НОК. Алгоритм Евклида. Теорема Дирихле. Сложность машинной реализации алгоритма Евклида, теорема Ламе. Расширенный алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида и цепные дроби.

[1], [2], [3], [7], [9.2], [9.3], [14.б)], [30]

Методы формального интегрирования. Метод Эрмита. Метод Горовица.

[1]

Понятие сравнения и их применение в компьютерной алгебре. Кольцо классов вычетов. Функция Эйлера, теорема Эйлера, малая теорема Ферма и их применение в шифровании.

[7], [9.2], [9.3], [21], [30]

[1]

Китайская теорема об остатках. Обобщённая китайская теорема об остатках. Применение в компьютерной алгебре. Примеры.

[3], [7], [14.б)], [30]

Модулярная арифметика. Представление чисел. Алгоритм сравнения чисел. Алгоритм сложения чисел.

[3], [7], [14.б)], [21], [25], [30]

Методы проверки простоты числа. Метод Ферма. Алгоритм теоремы Ферма. Числа Кармайкла. Теорема Рабина. Вероятностный алгоритм.

[7], [21], [30]

Идеалы. Главные идеалы. Порождённые идеалы. Классы вычетов по идеалу. Фактормножества и факторкольца по идеалу.

[2], [3], [7], [29]

Кольца главных идеалов. Делимость и сравнения в кольцах. Возрастающие идеалы. Факториальные кольца. Евклидовы кольца. Связь между нётеровостью и конечность колец. Эффективное деление в евклидовых кольцах. Теорема Ламе. Теорема Дирихле.

[2], [3], [7]

Расширения колец. Простое трансцендентное расширение. Трансцендентные элементы. Кольцо полиномов над кольцом (полем).

[2], [7], [16.5], [20], [22]

Неприводимость полиномов. Каноническое разложение полинома на нормированные множители. Содержание полинома. Примитивные полиномы. Факториальность кольца полиномов. Результант. Обобщённая основная теорема арифметики.

[2], [7], [9.1], [16.2], [16.3], [16.4]

Схема Горнера для многочленов. Корни многочленов. Теорема Безу. Быстрое преобразование Фурье.

[2], [7], [9.1], [16.5], [20]

Криптология. Цели и задачи. Алгоритм цифровой подписи. Алгоритм шифрования RSA., Алгоритм DES.

[1], [7], [23]

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.