Вопросы к экзамену по дисциплине «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» для студентов III курса специальности «Информатика» Вопросы на 2 балла

№

Вопрос

Лит-ра

Понятие алгебры. Алгебраической системы. Отношения. Бинарные отношения. Свойства отношений. Классы эквивалентности. ПСПКЭ. Фактормножества.

[1], [2], [3], [6], [15, гл. 2], [23, гл. 1-2], [24], [27], [28], [29]

[4.1]

Операции. Арность. Свойства операций. Замкнутость относительно операции. Нейтральные элементы. Регулярные элементы. Теорема о единственности нейтрального элемента. Симметричные элементы. Теорема единственности.

[1], [2], [3], [6], [15, гл. 2], [23, гл. 1-2], [24], [27], [28], [29]

Понятие булевых алгебр. Примеры булевых алгебр.

[15, п. 5.1-5.2], [27], [28], [29]

Гомоморфизмы алгебр. Изоморфизмы. Теорема о гомоморфизмах. Теоремы об изоморфизмах.

[2], [3 Гл.4, § 3], [6], [24], [27], [28], [29]

Решётки (структуры). Понятие цепи. Структуры с условием обрыва убывающих (возрастающих) цепей. Дедекиндовы решётки.

[6 §5], [15, гл. 9], [23, гл. 1-2], [24], [27], [28], [29]

[4.1]

Многоосновные алгебры. Алгебра алгоритмов Глушкова. Многоосновная алгебра многосортных термов. Регулярные выражения.

[4.1]

Понятие полугруппы, группоида, моноида, группы. Теорема Маркова-Поста. Определение. Носитель. Порядок.

[2], [3, Гл.4, § 2, 4], [6], [15, гл. 7], [23, гл. 2], [24], [27], [28], [29]

Подгруппы. Критерий подгруппы. Смежные классы по подгруппе (правые, левые). Нормальные делители. Факторгруппа.

[2], [3, Гл.4, § 4, 5], [6], [15, гл. 7], [24], [28], [29]

Ядро и образ гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Критерий нормальности подгруппы.

[2], [3], [27], [28], [29]

Понятие полной структуры, полукольца, кольцоида, кольца, коммутативного кольца. Область целостности. Подкольца. Критерий подкольца. Примеры колец.

[2], [3], [15, гл. 10], [23, гл. 2], [24], [27], [29]

Числовые системы. Аксиоматика Пеано. Моноид натуральных чисел. Свойства моноида . Операция разности. Кольцо целых чисел . Упорядоченная система целых чисел.

[1], [6, § 6], [22]

Понятие поля. Поле частных области целостности. Поле рациональных чисел .

[2], [3], [6, § 6], [15, гл. 10], [22]

Понятие порядка. Частичный, полный, строгий, линейный порядок. Принцип трансфинитной индукции. Теорема Цермело.

[6, § 5], [22], [24]

Архимедовский порядок. Упорядоченные поля.

[1], [2], [3], [6 § 7], [22], [29], [4.1]

Поля. Свойства полей. Поле действительных чисел. Его порождение из поля рациональных. Подполе. Свойства подполя. Алгебраическое расширение поля. Конечное расширение поля.

[1], [2], [3], [15, гл. 10-12], [29], [4.1]

Поля. Свойства полей. Алгебраическое расширение поля. Конечное расширение поля. Тела. Поле комплексных чисел.

[1], [2], [3], [16.1], [16.2], [20], [22]

Последовательность числовых структур. Порождение последующих. Гиперкомплексные числа. Тело кватернионов. Числа Кэли (октонионы, октавы). Альтернативные алгебры. Примеры. Другие виды чисел. Теорема Фробениуса.

[2], [3], [6 § 9], [16.6], [20], [22], [29]

Реляционная алгебра. Тип. Домен. Операции РА: проекция, выборка (селекция), объединение, пересечение, разность, произведение, -соединение, экви-соединение. Применение в теории баз данных.

[27], [4.2]

Преобразования в векторных пространствах компьютерной алгебры. Теорема Шаля. Группы преобразований плоскости и пространства.

[4.2]

Алгебра списковых структур. Реализация списков в программировании.

[14.а)], [26], [27]

[4.2]

Метод Карацубы компьютерного умножения чисел.

[1], [25]

Теорема Риша о представлении экспонент и логарифмов.

Самостоятельно

Метод Барейса компьютерного умножения матриц.

Самостоятельно

Понятие делимости в кольце целых чисел. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком. Ассоциированные числа. Теорема о соотношении Безу.

[1], [2], [3], [7], [20], [25], [30]

Простые числа. Каноническое разложение числа на простые множители. Основная теорема арифметики. Теорема Евклида. Решето Эратосфена.

[1], [2], [3], [7], [30]

НОД. НОК. Свойства НОД и НОК. Связь НОД и НОК. Алгоритм Евклида. Теорема Дирихле. Сложность машинной реализации алгоритма Евклида, теорема Ламе. Расширенный алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида и цепные дроби.

[1], [2], [3], [7], [9.2], [9.3], [14.б)], [30]

Методы формального интегрирования. Метод Эрмита. Метод Горовица.

[1]

Понятие сравнения и их применение в компьютерной алгебре. Кольцо классов вычетов. Функция Эйлера, теорема Эйлера, малая теорема Ферма и их применение в шифровании.

[7], [9.2], [9.3], [21], [30]

[1]

Китайская теорема об остатках. Обобщённая китайская теорема об остатках. Применение в компьютерной алгебре. Примеры.

[3], [7], [14.б)], [30]

Модулярная арифметика. Представление чисел. Алгоритм сравнения чисел. Алгоритм сложения чисел.

[3], [7], [14.б)], [21], [25], [30]

Методы проверки простоты числа. Метод Ферма. Алгоритм теоремы Ферма. Числа Кармайкла. Теорема Рабина. Вероятностный алгоритм.

[7], [21], [30]

Идеалы. Главные идеалы. Порождённые идеалы. Классы вычетов по идеалу. Фактормножества и факторкольца по идеалу.

[2], [3], [7], [29]

Кольца главных идеалов. Делимость и сравнения в кольцах. Возрастающие идеалы. Факториальные кольца. Евклидовы кольца. Связь между нётеровостью и конечность колец. Эффективное деление в евклидовых кольцах. Теорема Ламе. Теорема Дирихле.

[2], [3], [7]

Расширения колец. Простое трансцендентное расширение. Трансцендентные элементы. Кольцо полиномов над кольцом (полем).

[2], [7], [16.5], [20], [22]

Неприводимость полиномов. Каноническое разложение полинома на нормированные множители. Содержание полинома. Примитивные полиномы. Факториальность кольца полиномов. Результант. Обобщённая основная теорема арифметики.

[2], [7], [9.1], [16.2], [16.3], [16.4]

Схема Горнера для многочленов. Корни многочленов. Теорема Безу. Быстрое преобразование Фурье.

[2], [7], [9.1], [16.5], [20]

Криптология. Цели и задачи. Алгоритм цифровой подписи. Алгоритм шифрования RSA., Алгоритм DES.

[1], [7], [23]