8.2. Формула Лапласа

Под искривленной поверхностью жидкости помимо внутреннего давления создается еще дополнительное давление, обусловленное кривизной поверхности. Представим себе жидкость в трех сосудах, в одном из которых ее поверхность имеет выпуклую форму, в другом — плоскую и в третьем — вогнутую. Поскольку поверхностный слой жидкости подобен напряженной пленке, выпуклая поверхность, стремясь сократиться и принять плоскую форму, будет, очевидно, оказывать на жидкость дополнительное давление , направленное так же, как внутреннее давление (рис. 8.7, а). По той же причине под вогнутой поверхностью возникает дополнительное давление, направленное противоположно внутреннему давлению (рис. 8.7, в). Под плоской поверхностью дополнительного давления не будет (рис. 8.7, б).

Рисунок 8.7.

Естественно предположить, что величина дополнительного давления должна зависеть от величины силы поверхностного натяжения жидкости и от степени искривленности ее поверхности, иначе говоря, от коэффициента поверхностного натяжения а и радиуса кривизны поверхности . Характер зависимости тоже очевиден: дополнительное давление должно быть пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения и обратно пропорционально радиусу кривизны поверхности жидкости:

.

Точное выражение для дополнительного давления под жидкой искривленной поверхностью любой формы теоретически вывел в 1805 г. французский математик и физик Лаплас:

(6)

Это выражение называется формулой Лапласа. Знак плюс соответствует выпуклой поверхности, знак минус — вогнутой поверхности; и — радиусы кривизны двух нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности, изображенных на рис. 8.8. Если искривленную поверхность пересечь двумя плоскостями ( и ) так, чтобы они были взаимно перпендикулярны и содержали в себе нормаль к поверхности в точке М, то на поверхности получатся две дуги и радиусами и ; это и есть радиусы кривизны нормальных взаимно перпендикулярных сечений.

Рисунок 8.8.

Полусумма — называется средней кривизной поверхности в точке М. Для всех форм поверхности, которые могут образоваться у жидкости, средняя кривизна остается постоянной для любой пары нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности в данной точке.

В случае сферической поверхности , поэтому, согласно формуле Лапласа, дополнительное давление будет

(7).

При большой кривизне поверхности, которая имеет место, например, у очень маленьких капелек, дополнительное давление может быть довольно значительным. Подсчитаем для капельки воды радиусом 0,001 мм:

Отметим, что из капелек данного размера образуются туманы и дымки. Дополнительное давление играет большую роль в так называемых капиллярных явлениях.

8.3.Капилярные явления

Молекулярные силы притяжения действуют между молекулами жидкости и твердого тела, которое с ней соприкасается (молекула Г на рис.8.9); по величине они зависят от природы как жидкости, так и твердого тела. Если силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, то прилежащие к твердому телу частицы жидкости пристают (прилипают) к его поверхности. Это явление называется смачиванием, а жидкость – смачивающей.

Рисунок 8.9.

На молекулу смачивающей жидкости, находящуюся на поверхности около вертикальной стенки сосуда (рис.8.9, а), со стороны молекул вещества действуют силы, равнодействующая которых направлена в сторону стенки, со стороны жидкости – силы, результирующая которых направлена в глубину жидкости. Результирующую силу, действующую на молекулу, можно найти путем векторного сложения этих сил: . Для смачивающей жидкости сила направлена наружу, при этом поверхность покоящейся жидкости, которая должна быть перпендикулярна силам , действующим на каждую молекулу, принимает вогнутую форму (линия MN), называемую вогнутым мениском.

Если силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела меньше, чем между молекулами самой жидкости, то жидкость называется несмачивающей. В этом случае молекулы жидкости не прилипают к поверхности твердого тела, а результирующая сила, действующая на молекулы жидкости около стенки сосуда, направлена в глубь жидкости (рис.8.9, б). При этом поверхность жидкости принимает выпуклую форму (линия MN), называемую выпуклым мениском.

Одна и та же жидкость смачивает одни тела и не смачивает другие, например, вода смачивает стекло и не смачивает жиры. Почва, древесина и кора, обезжиренные волокна льна, пеньки, шерсти и другие смачиваются водой, жиры и смолы – водными растворами щелочей и др.

Под криволинейной поверхностью мениска сила поверхностного натяжения, стремящаяся сократить эту поверхность, создает давление , дополнительное к давлению , действующему снаружи на жидкость. Это давление зависит от коэффициента поверхностного натяжения и кривизны поверхности. При выпуклом мениске оно направлено внутрь жидкости и складывается с внешним давлением (рис.8.10, а); давление под мениском . При вогнутом мениске это давление направлено наружу (рис.8.10, б) и вычитается из внешнего давления на жидкость: .

Величина дополнительного давления под мениском при смачивании и мениске в виде полусферы радиуса определяется как отношение силы поверхностного натяжения , действующей по периметру основания полусферы, к его площади:

(формула Лапласа). Обычно радиус кривизны мениска принимается равным радиусу трубки.

Рисунок 8.10.

Явление поднятия или опускания уровня жидкости в узких трубках в связи с действием дополнительного давления называется капиллярностью. Капиллярными свойствами обладает всякое пористое тело, например фильтровальная бумага, сухой мел, разрыхленная почва и т. д. Пористые тела легко пропитываются смачивающимися жидкостями и удерживают их. Для несмачивающих жидкостей, наоборот, эти тела являются непроницаемыми.

Капиллярные явления имеют большое значение для жизни растений, так как способствуют поднятию воды и питательных растворов из почвы ствола растения.