2. Основи векторної алгебри

2.1. Поняття вектора

Розрізняють два види величин: скалярні і векторні.

Якщо деяка величина повністю визначається певним чином, то її називають скалярною. Прикладами скалярних величин є маса, довжина, об’єм, площа, кількість, температура та ін. Скалярні величини є алгебраїчними величинами і з ними можна здійснювати будь-які алгебраїчні дії: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення у ступінь.

Якщо при визначенні деякої величини крім числового значення треба знати і її напрямок, то така величина називається векторною. Прикладами таких величин є швидкість, прискорення, сила. Векторні величини зображуються за допомогою векторів.

Вектором називають спрямований відрізок, що має певну довжину, у якої одна з точок, що його обмежує, приймається за початок, а друга – за кінець. Якщо точка А – початок вектора, а точка В – його кінець, то вектор позначається символом і зображують його так

Вектор можна позначити й однією буквою, наприклад, . Тоді його зображення має вигляд

Довжина вектора називається його модулем і позначається символом .

Вектор називається нульовим, якщо його модуль дорівнює нулю. У такому векторі початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, його довжина дорівнює нулю, і позначається . Вектор , модуль якого дорівнює 1, називається одиничним. Вектори, які лежать на паралельних прямих чи на тій же прямій, називаються колінеарними. Наприклад, колінеарними є вектори , , , , що подані на малюнку.

Колінеарні вектори, які мають однаковий напрямок, називаються рівно спрямованими, а ті, що мають протилежні напрямки, – протилежно спрямованими.

Два вектори і називаються рівними, якщо

- рівні їхні модулі ;

- вони є рівно спрямованими.

У цьому разі пишуть .

Два вектори і називаються протилежними, якщо:

- рівні їхні модулі ;

- вони є протилежно спрямованими.

У цьому разі пишуть . Цілком зрозуміло, що .

2.2. Лінійні операції над векторами.

Лінійними операціями над векторами є операції додавання, віднімання векторів і множення вектора на число.

Додавання векторів.

Сумою двох векторів і називають третій вектор , який визначається відповідно до одного з правил:

Правило трикутника:

1) від довільної точки О відкладаємо вектор ;

2) від його кінця A відкладаємо вектор ;

3) початок першого вектора з’єднується з кінцем другого;

Одержаний вектор є вектором , який дорівнює

Правило паралелограма.

1) від довільної точки О відкладаємо вектор ;

2) від тієї ж точки відкладаємо вектор ;

3) побудуємо на цих векторах як на сторонах паралелограма OACB діагональ OC ;

4) вектор , що є діагоналлю цього паралелограма, є вектор , який є сумою векторів і : .

Властивості суми векторів :

1. Сума двох векторів має комутативну (переставну) властивість:

;

2. Сума векторів має асоціативну (поєднувальну) властивість:

.

Поняття суми векторів можна узагальнити на випадок довільної скінченої кількості векторів.

Сумою n векторів називають вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець - з кінцем вектора за умови, що точка прикладання кожного наступного вектора збігається з кінцем попереднього. Наприклад, сумою векторів є вектор

Віднімання векторів.

Різницею двох векторів і називають третій вектор , який під час додавання з вектором дає вектор . Побудувати вектор можна за малюнком

B

Множення вектора на число.

Д

обутком вектора на число λ називається вектор , модуль якого дорівнює модулю вектора , помноженого на λ, тобто , а напрямок збігається з напрямком вектора при λ > 0 і протилежний йому при λ < 0. Наприклад, вектори , 3 , -2 мають вигляд

Два вектори і є колінеарними, якщо існують такі числа α і β, що має місце рівність .