163

9. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

9.1. Учет сил инерции при оценке прочности элементов конструкций

9.1.1. Основные принципы расчета

В основе расчета лежит принцип Даламбера, согласно которому элемент конструкции приводят в состояние мгновенного равновесия путем присоединения сил инерции к действующим на него активным силам.

Приложив к элементу конструкции активные силы и силы инерции, определяют внутренние силовые факторы, вид деформирования, напряжения и перемещения так же, как и при статическом нагружении.

При расчетах тел, вращающихся с постоянной угловой скоростью, влияние на прочность центробежных сил инерции значительно больше сил собственного веса, поэтому их обычно не учитывают.

9.1.2. Расчет на прочность с учетом сил инерции

Задача. Валик и жестко соединенный с ним ломаный стержень того же поперечного сечения вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси АВ (рис. 9.1,а).

Требуется:

1. построить эпюру изгибающих моментов от сил инерции, возникающих на вертикальном (СD) и горизонтальном (DЕ) участках ломаного стержня (силы инерции самого валика и собственного веса всех элементов конструкции ввиду их малости не учитывать);

2. найти допускаемое число оборотов валика в минуту.

Числовые данные:   = 100 МПа,  = 7,810 Н/мм , мм, мм, d = 20 мм.

Решение

Расчет на прочность вращающегося с постоянной угловой скоростью  валика АС и жестко соединенного с ним ломаного стержня CDE проводят согласно схеме плоской рамы на двух шарнирных опорах А и В, заменяющих опоры вращения (рис. 9.1,б). На раму действуют только инерционные нагрузки.

1. Определение инерционных нагрузок.

На горизонтальном участке ED сила инерции равномерно распределена по всей его длине (рис. 9.1б). Интенсивность инерционной нагрузки на этом участке определим по формуле

(Н/мм).

Рис. 9.1

На участке CD инерционные силы направлены вдоль оси стержня CD. Интенсивность инерционных сил на этом участке изменяется по линейному закону от нуля (в точке С) до максимума (в точке D) (рис. 9.1б).

Обозначим через z координату произвольного сечения участка CD (рис. 9.1,б). Тогда закон изменения интенсивности сил инерции по длине этого участка можно записать в виде

Н/мм (0  z  ).

При z = 0 (т. С) 0, при z = (т. D) (Н/мм).

Покажем инерционные нагрузки на расчетной схеме, обозначив через Н/мм (рис. 9.1,б).

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.

Как известно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях плоской рамы возникают три внутренних силовых фактора: нормальная сила N, изгибающий момент и поперечная сила . Поскольку при оценке прочности и жесткости рамы влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, ограничимся построением эпюр N и .

Определим реакции опор, записав уравнение равновесия рамы

, отсюда .

Отсюда (Н).

Отсюда (Н).

Проверка:

Таким образом, реакции найдены верно.

Разбиваем раму на участки и записываем аналитические выражения N и по участкам.

Участок АВ: 0   = 400 (мм).

При при (Нмм).

Участок ВС: : 0   = 400 (мм).

При (Нмм);

при (Нмм).

Участок СD: 0   = 400 (мм).

где Тогда окончательно получим

(Нмм).

При (Н); при мм (Н);

при (мм), (Н).

Участок DЕ: 0   = 200 (мм).

При

при (Нмм).

По этим данным строим эпюры N и М (рис. 9.1в и рис. 9.1г).

3. Определение допускаемого числа оборотов вала.

Анализ эпюр N и М показывает, что сам валик АС и горизонтальный участок DE ломаного стержня подвергаются изгибу, а вертикальный участок CD испытывает изгиб с растяжением.

Допускаемое число оборотов валика можно определить из условия прочности рамы

,

где N и М - нормальная сила и изгибающий момент в наиболее нагруженных сечениях, а W и F – соответственно осевой момент сопротивления и площадь поперечного сечения.

Поскольку N и М зависят от  , то условие прочности позволяет определить допускаемое значение угловой скорости - .

Анализ эпюр N и М показывает, что наиболее нагруженными (предположительно опасными) являются сечения В (М  = 140 , N = 0 ) и сечение С вертикального участка CD (М  = 20 , N = 0,4 ), где наблюдаются максимальные значения М и N соответственно. Подставляя в условие прочности значения N и М в этих сечениях и учитывая, что мм , W  0,1 = 800 мм , получим два неравенства   23,9 (сек ) и   61,5 (сек ). Выбирая из этих значений наименьшее, получим

 = 23,9 (сек ).

Допускаемое число оборотов валика рассчитываем по формуле

(об/мин).

9.2. Колебания системы с одной степенью свободы

9.2.1. Основные понятия

Во многих случаях нагрузки, действующие на упругие системы, переменны во времени и вызывают их колебания. При изучении колебаний упругих систем последние различают по числу степеней свободы. Под числом степеней свободы понимают число независимых координат, определяющих положение системы.

Различают собственные и вынужденные колебания. Под собственными колебаниями понимают движение, которое совершает система, освобожденная от внешнего активного силового воздействия и предоставленная самой себе. Под вынужденными колебаниями понимают движение упругой системы, происходящее под действием периодически изменяющихся во времени внешних сил, называемых возмущающими.

Колебания (как собственные, так и вынужденные) характеризуются периодом и частотой. Период Т – это промежуток времени между двумя последующими максимальными отклонениями системы от положения равновесия. Величина , обратная периоду, называется частотой. Частота измеряется в герцах и характеризуется числом колебаний в единицу времени. В технике чаще используют понятие круговой частоты , представляющей собой число колебаний за 2 секунд. Частота собственных колебаний системы с одной степенью свободы (без учета затухания) определяется по формуле

(9.1)

где - перемещение колеблющегося тела весом Q и массой m под действием статически приложенной единичной силы; g – ускорение свободного падения.

При наличии линейного затухания, когда сила сопротивления пропорциональна скорости, частота собственных колебаний упругой системы равна:

(9.2)

где n – коэффициент затухания.

При вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы под действием возмущающей силы, меняющейся по гармоническому закону где - амплитудное значение возмущающей силы,  - круговая частота ее изменения, амплитуда вынужденных колебаний определяется по соотношению

(9.3)

где - перемещение системы от действия амплитудного значения возмущающей силы , приложенной статически;

- коэффициент нарастания колебаний.

Коэффициент нарастания колебаний  показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний А больше статического перемещения , вызванного амплитудным значением возмущающей силы . Когда больше или меньше в 1,5 – 2 раза, можно принять n  0 и считать

. (9.4)

При совпадении частоты собственных колебаний с частотой возмущающей силы возникает явление резонанса. При резонансе аплитуда колебаний достигает недопустимо больших значений, что может привести к разрушению системы. Таким образом, она должна быть рассчитана так, чтобы опасность резонанса была исключена.

Обычно считают, что «отстройка» от резонанса обеспечена, если отличается от на  30 . Поскольку в большинстве случаев следует рассматривать как величину, заданную и не подлежащую изменению, то «отстройку» от резонанса осуществляют варьированием . Это значит, что система должна иметь определенную жесткость. Таким образом, расчет системы на обеспечение работы в режиме, достаточно далеком от резонансного, представляет собой по существу расчет на жесткость.

Максимальные перемещения при колебаниях определяются по соотношению

(9.5)

где - статическое перемещение, возникающее от собственного веса системы или веса установленных на ней агрегатов; величина

(9.6)

называется коэффициентом динамичности при колебаниях.

Напряжения, как и перемещения, при вынужденных колебаниях периодически изменяются во времени. Амплитудные напряжения определяются по соотношению

(9.7)

где - напряжение, возникающее в системе при статическом приложении амплитудного значения возмущающей силы .

Амплитудные напряжения накладываются на средние напряжения от действующих на систему статических нагрузок (собственный вес системы или вес установленных на ней агрегатов). По напряжениям и в случае необходимости можно выполнить расчет системы на усталостную прочность. Максимальные напряжения, возникающие в упруго колеблющейся системе, определяются из условия

. (9.8)

9.2.2. Расчет на прочность при колебаниях

Задача. На двух балках двутаврового сечения установлен двигатель весом Q (рис. 9.2), делающий n оборотов в минуту. Центробежная сила инерции, возникающая вследствие неуравновешенности вращающихся частей двигателя, равна Н. Собственный вес балок и силы сопротивления можно не учитывать. Требуется найти:

1) частоту собственных колебаний ;

2) частоту изменения возмущающей силы ;

3) коэффициент нарастания колебаний (если коэффициент , определяемый по этой формуле, окажется отрицательным, то в дальнейшем расчете следует учитывать его абсолютную величину);

4) динамический коэффициент ;

5) наибольшее нормальное напряжение в балках .

Числовые данные:

двутавр № 20, = 2 м, Q = 20 кН, Н = 10 кН, n = 600 об/мин, = 1840 см , = 184 см , Е = 210 МПа.