Напівпровідник з домішками одного типу

Розглянемо напівпровідник, який містить прості донори з енергетичним рівнем W_d. Будемо також вважати, що температура не дуже висока і тому власною провідністю можна знехтувати. В цьому випадку електрони в зоні провідності виникають за рахунок іонізації донорів. Знайдемо концентрацію електронів в зоні і положення рівня Фермі. Умова нейтральності в загальному випадку має вигляд:

.

При виконанні умови

її можна переписати:

Із цього рівняння можна визначити рівень Фермі W_F. Проте в загальному випадку для розв'язку необхідно використовувати чисельні методи. Тому розглянемо випадок невиродженого напівпровідника, коли:

.

Оскільки експоненту можна подати у вигляді:

,

де енергія іонізації донора. Тому умову нейтральності можна переписати:

,

де

.

Останнє співвідношення приводить до квадратичного рівняння відносно n, позитивний корінь якого є:

.

При достатньо низьких температурах, які визначаються умовою , значення кореня можна переписати:

.

А при достатньо високих температурах, , отримуємо:

Цей випадок відповідає повній іонізації донорів.

Для знаходження залежності рівня Фермі від температури необхідно заново розв'язувати рівняння нейтральності. У випадку невироджених напівпровідників це дає:

.

При низьких температурах, цю формулу можна переписати:

Коли , тоді рівень Фермі W_F розташований посередині між W_c та W_v. У випадку не скомпенсованих акцепторів справедливі аналогічні співвідношення.

Концентрація електронів та дірок у власному напівпровіднику

В металах валентна зона заповнена не повністю (вони володіють низькою валентністю), рис. 1, в результаті чого валентні електрони можуть вільно переміщатись між атомами і, відповідно, концентрація вільних електронів є надзвичайно великою. Енергетичний рівень, який розділяє заповнену та вільну частини зон в металі, називають рівнем Фермі (в дійсності - це поверхня). Формально рівень Фермі (F) можна визначити як енергетичний рівень, ймовірність заповненвя якого рівна ½. Нижче цього рівня переважають електрони, вище переважає вільний простір (дірки).

Рис 1. Енергетична діаграма металу.

Напівпровідники та діелектрики відрізняються шириною забороненої зони. В напівпровідниках, як правило, заборонена зона є менша і не перевищує 3еВ, тому для напівпровідників ймовірність розриву валентних зв'язків за рахунок теплового нагрівання є значно більшою, аніж у діелектриків і навіть при кімнатній температурі напівпровідники можуть володіти кінцевою електронною провідністю. При цьому власна концентрація носіїв заряду залежить від ширини забороненої зони та температури. Рівень Фермі у власних напівпровідниках та діелектриках лежить всередині забороненої зони. На відміну від металів в ідеальних власних напівпровідниках всередині зони дозволених рівнів немає і, відповідно, не може бути електронів з такими енергіями, однак, якщо б вони були, то ймовірність їх заповнення була б рівна ½. Тобто і в цьому випадку він вказує на те, які стани можуть бути заповнені електронами, а які ні. Дійсно, валентна зона лежить нижче рівня Фермі - вона заповнена електронами, зона провідності знаходиться вище рівня Фермі, ймовірність заповнення її електронами f_n<<1. Для власної провідності напівпровідників та діелектриків можна записати:

де А - величина, яка слабо залежить від температури, Ec та F - енергія дна зони провідності та рівня Фермі, Eg - ширина забороненої зони, k - постійна Больцмана, T - значення абсолютної температури (К).