Условия оптимальности

Здесь рассмотрим наиболее важные с точки зрения приложений необходимые и достаточные условия оптимальности. Они позволяют строить методы отыскания эффективных решений и способы проверки эффективности найденных решений.

Наиболее общий случай необходимых условий содержит следующая теорема.

Теорема 1. Пусть Y* G и все . Вектор Y* слабо эффективен тогда и только тогда, когда найдутся такие числа , что

(10.1)

Условие не ограничивает применимость теоремы, так как его всегда можно обеспечить добавлением к положительной константы .

При оговариваемых свойствах D и f(X) справедливы теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Пусть D выпукло, а , вогнуты и положительны на D. Тогда решение X* слабо эффективно в том и только в том случае, если существуют такие числа , что

. (10.2)

Теорема 3. Пусть D выпукло, а f вогнуто. Для слабой эффективности точки X^*D необходимо и достаточно, чтобы существовали числа , при которых

. (10.3)

Т ребование вогнутости f существенно, так как его невыполнение может привести к тому, что не для всех слабо эффективных решений найдутся , удовлетворяющие (10.3). Например, для критериев и (   выпукла) на D=[0,1] множество S(X)=D. Максимум функции достигается только на одном из концов интервала [0,1] и поэтому ни при каких неотрицательных и максимизация этой функции не даст слабо оптимальную точку, лежащую внутри D.

Терема 4.Вектор Y^*G эффективен тогда и только тогда, когда для каждого

, (10.4)

где

¦ > , }. (10.5)

Если Y^*G эффективна, то она является единственной в G точкой, удовлетворяющей (10.4) при каждом .

Достаточные условия, приведенные ниже, основаны на свойствах возрастающей функции многих переменных. Поэтому сначала дадим определение такой функции. Числовая функция F(Y), определённая на множестве G, является возрастающей по отношению , если из выполнения неравенства YY^ для векторов Y,Y^G всегда следует справедливость неравенства F(Y)>F(Y^). Аналогично, F(Y) – функция, возрастающая по отношению >, если из Y>Y ^ всегда следует F(Y)>F(Y^).

Теорема 5. Пусть функция F(Y) определена на множестве G. Для того чтобы точка Y^*G была эффективной (слабо эффективной), достаточно, чтобы она являлась точкой максимума на множестве G функции F(Y), возрастающей по отношению  (по отношению >).

Теорема легко доказывается от противного. Пусть Y^*G и

F(Y^*)F(Y) для всех YG. (10.6)

Предположим противное, т.е. что существует Y^G, для которого верно неравенство Y ^Y^*. Так как функция F возрастающая по отношению , то противоречит (10.6). Аналогично доказываются достаточные условия слабой эффективности.

Теорема 5 играет важную роль в решении многокритериальных задач. Её применение основано на максимизации возрастающих функций многих переменных. Поэтому целесообразно рассмотреть примеры таких функций.

1). Функция F(Y)= , где , является возрастающей по каждой переменной на числовой оси и потому возрастает по  на E^m. Поэтому любая точка максимума F(Y) на G эффективна. Эта же функция при и хотя бы одном из них положительном является возрастающей по отношению > и, значит, максимизация такой функции на G дает слабо эффективную точку.

2

m

m

m

). Функция F(Y)= , при s>0 и >0 является возрастающей по каждой переменной на множестве неотрицательных чисел и потому возрастает по  на E_{>= (}т.е. в пространств Е где все >=0). Если же s<0 и >0, то эта функция возрастает по ≥ на Е_> (т.е. в области положительных ). Точка максимума такой функции эффективна.

3).Функция F(Y) , где s>0, >0, а >= , , возрастает по ≥ на G. Поэтому любая её точка максимума на G эффективна. Отсюда, в частности, следует, что минимизация широко применяемой функции дает эффективную точку.

4

m

m

). Функция F(Y) при >0 возрастает по каждой переменной на множестве положительных чисел и поэтому является возрастающей по ≥ на Е_>. Если же ≥0 и есть среди них положительные, то эта функция будет возрастающей по отношению > на Е_>.

5). Возьмём функцию F(Y) при , . Если для всех i, то и для всех i. Поэтому справедливо неравенство

m

и, значит, приведённая функция возрастает по отношению > на E . Следовательно, любая её точка максимума на G слабо эффективна.