- •1.Основные понятия и этапы са
- •2. Операция и ее составляющие. Этапы исо
- •Этапы операционного проекта
- •Виды математических моделей ио, примеры.
- •4. Состязательные задачи. Решение игры 2-х лиц
- •7. Примеры задач лп: игра 2-х лиц как задача лп, транспортная задача
- •В общем случае модель задачи лп имеет вид
- •Сбалансированная транспортная задача
- •8 Формы представления задач лп и способы приведения к ним
- •1. Каноническая форма задач лп
- •2. Стандартная форма задачи лп
- •9. Основные понятия лп. Свойства задач лп
- •10. Геометрия задач лп, базисные решения, вырожденность.
- •4.7. Выделение вершин допустимого множества
- •11. Понятие базиса. Переход от одного базисного решения к другому
- •12. Признак оптимальности. Определение начального базисного решения.
- •13. Алгоритм симплекс-метода
- •14. Двойственность задач лп
- •4.11.1. Запись двойственной задачи в симметричном случае
- •4.11.3. Запись двойственной задачи в общем случае
- •15.Экономическая интерпретация двойственной задачи
- •16. Теоремы двойственности
- •17. Двойственный и модифицированный симплекс-метод Модифицированный алгоритм
- •18. Параметрический анализ. Параметрирование вектора ограничениий
- •Параметрирование вектора ограничениий
- •19. Параметрирование коэффициентов линейной формы
- •20. Модели транспортных задач и их характеристика, условия разрешимости.
- •Простейшая транспортная задача (т-задача)
- •Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями (Td - задача)
- •Транспортные задачи по критерию времени
- •21. Построение начального плана перевозок т-задачи
- •5.2.1. Построение начального плана перевозок
- •Правило северо-западного угла
- •Правило минимального элемента.
- •22.Обоснование метода потенциалов
- •5.2.3. Признак оптимальности
- •23. Алгоритм метода потенциалов.
- •24. Двойственная пара транспортных задач
- •25. Метод потенциалов для Td-задачи
- •5.5. Решение задачи по критерию времени
- •26. Приведение открытой транспортной задачи к закрытой
- •27. Транспортные задачи в сетевой постановке (транспортные сети)
- •28. Задача о максимальном потоке
- •29. Метод декомпозиции Данцига - Вулфа
- •30. Решение транспортной задачи методом Данцига-Вулфа (метод декомпозиции тз)
- •32. Целочисленное программирование
- •7.1. Проблема целочисленности
- •33. Метод отсечений
- •Пример 7.1. Выведем условие отсечения для задачи
- •34. Метод ветвей и границ
- •35. Аддитивный алгоритм
- •36. Нелинейное программирование
- •Теорема
- •37. Квадратичное программирование
- •38. Сепарабельное программирование (сп) и дробно-линейное программирование
- •8.5. Задачи дробно-линейного программирования
- •39. Метод покоординатного спуска и Хука-Дживса Метод первого порядка
- •8.8. Многомерный поиск безусловного минимума
- •8.8.1. Метод Гаусса-Зейделя (покоординатного спуска)
- •Метод Хука-Дживса (метод конфигураций) Метод первого порядка
- •Метод Хука-Дживса (метод конфигураций)
- •40. Симплексный метод поиска
- •41. Градиентные методы
- •Методы сопряженных направлений
- •43. Методы случайного поиска
- •Алгоритм с возвратом при неудачном шаге
- •Алгоритм с обратным шагом
- •Алгоритм наилучшей пробы
- •Алгоритм статистического градиента
- •44. Метод проектирования градиента
- •Метод проектирования градиента
- •45. Генетические алгоритмы
- •46. Метод штрафных функций и барьерных функций
- •Метод барьерных функций
- •47. Динамическое программирование
- •48. Распределение одного вида ресурса
- •49. Дп: задачи о кратчайшем пути и с мультипликативным критерием
- •Задача с мультипликативным критерием.
- •52. Многомерные задачи динамического программирования
- •53. Снижение размерности с помощью множителей Лагранжа
- •56. Многокритериальные задачи: постановка, проблемы, осн. Понятия, методы
- •Многокритериальная задача математического программирования
- •Где искать оптимальное решение
- •Определения
- •Условия оптимальности
- •57. Многокритериальные задачи: функция полезности, лексикографический анализ
- •Методы первой группы
- •Функция полезности
- •Решение на основе лексикографического упорядочения критериев
- •58. Методы главного критерия, свертки, идеальной точки, целевого прогр. Метод главного критерия
- •Линейная свертка
- •Максиминная свертка
- •Метод идеальной точки
- •Целевое программирование (цп)
- •59. Диалоговые методы решения задач по многим критериям
- •Метод уступок
- •Интерактивное компромиссное программирование
- •Построить таблицу
19. Параметрирование коэффициентов линейной формы
Здесь рассмотрим три варианта параметрирования, отличающихся своими возможностями.
1. Коэффициенты критерия изменяются линейно от параметра:
C()=C+V,
а вектор V задается аналогично случаю изменения ресурсов.
Тогда задача параметрирования имеет вид:
(С+V)TXmax
AX B
X 0.
Запишем соответствующую двойственную задачу:
BTUmin
ATU C+V
U 0
Очевидно, что она представляет собой задачу параметрирования вектора ограничений, решение которой может быть получено вышеописанным методом. В результате найдем диапазон изменения параметра (0 < ), в котором базис двойственной задачи остается неизменным. В строке Z оптимальной таблицы двойственной задачи находятся переменные прямой задачи (двойственные к двойственной). Но значения zj зависят только от базиса, поэтому в найденном диапазоне оптимальное решение также не меняется. Изменяться будет только критерий. При достижении критического значения произойдет смена базиса (оптимальной вершины), а значит, и оптимального решения прямой задачи. Проследить дальнейшее изменение решения можно после повторного решения двойственной задачи с векторм
Т акое поведение следует и из геометрических представлений (рис. 4.14). Изменение коэффициентов линейной формы изменяет наклон линии уровня критерия, но не влияет на допустимое множество. При наличии критических значений изменение коэффициентов приводит к скачкообразному изменению оптимального решения – переходу из вершины в вершину (смежную).
2. Для небазисных переменных весьма просто можно определить диапазон изменения Cj, в котором оптимальное решение остается неизменным.
Действительно, пока при изменения Cj все Δj 0 оптимальное решение исходной задачи сохраняет свой статус. Так как
Δj = Zj-Cj,
то уменьшение Cj не может изменить знак оценки. Поэтому интерес представляет увеличение Cj. Пусть + j, j .0. Тогда
Δ’j = Zj – Cj - j = Δj - j 0.
Отсюда следует, что при j Δj исходное решение остается оптимальным.
3. Этот вариант основан на формуле вычисления относительных оценок в модифицированном симплекс-методе:
.
Она позволяет исследовать влияние изменения любых коэффициентов Сj. В общем случае эти коэффициенты являются некоторыми функциями параметра : Cj(). Тогда условия оптимальности запишутся в виде
Здесь обратная матрица соответствует оптимальному базису. Пока при изменении коэффициентов (т.е. ) эти неравенства выполняются, оптимальное решение не изменяется. Значение , при котором хотя бы одно из условий становится равенством, и будет критическим. Практически оно находится так: каждое условие записывается как равенство и определяются его корни; из всех корней выбирается наименьшее положительное. Это и будет
Очевидно, что данный вариант параметрирования пригоден как для линейных, так и нелинейных зависимостей от параметра. Однако в последнем случае его применение ограничено возможностью нахождения корней нелинейного уравнения.
Пример 4.8. Пусть ожидается изменение коэффициентов критерия в примере 4.2 (разд. 4.9.7) по закону: C1()=7 - 2, C2()=5 + . Необходимо определить критическое значение , если таковое имеется.
В оптимальной симплекс-таблице базисные индесы расположены в следующем порядке: 6, 2, 5, 1. Значит, Вычисляем:
Из условий оптимальности Δ30, Δ4 0 записываем уравнения
Первое уравнение имеет отрицательный корень, корень второго равен 11/8. Таким образом, До этого значения оптимальное решение не изменяется, при =11/8 имеем альтернативные оптимальные решения (линии уровня L( )=34/8x1 + 51/8x2=Const параллельны границе 2x1 + 3x2=19), а при >11/8 оптимальное решение переместится в вершину В (рис. 4.3).▲
Как отмечалось выше, параметрические решения могут быть получены также при одновременном изменении правых частей и коэффициентов критерия по линейной зависимости от одного параметра
при линейном изменении столбца условий Aj+Vj или строки ai+Vi.
В других случаях изменения модели поведение оптимального решения определяется решениями задачи одним из методов ЛП при разных значениях изменяемых параметров модели.