- •1.Основные понятия и этапы са
- •2. Операция и ее составляющие. Этапы исо
- •Этапы операционного проекта
- •Виды математических моделей ио, примеры.
- •4. Состязательные задачи. Решение игры 2-х лиц
- •7. Примеры задач лп: игра 2-х лиц как задача лп, транспортная задача
- •В общем случае модель задачи лп имеет вид
- •Сбалансированная транспортная задача
- •8 Формы представления задач лп и способы приведения к ним
- •1. Каноническая форма задач лп
- •2. Стандартная форма задачи лп
- •9. Основные понятия лп. Свойства задач лп
- •10. Геометрия задач лп, базисные решения, вырожденность.
- •4.7. Выделение вершин допустимого множества
- •11. Понятие базиса. Переход от одного базисного решения к другому
- •12. Признак оптимальности. Определение начального базисного решения.
- •13. Алгоритм симплекс-метода
- •14. Двойственность задач лп
- •4.11.1. Запись двойственной задачи в симметричном случае
- •4.11.3. Запись двойственной задачи в общем случае
- •15.Экономическая интерпретация двойственной задачи
- •16. Теоремы двойственности
- •17. Двойственный и модифицированный симплекс-метод Модифицированный алгоритм
- •18. Параметрический анализ. Параметрирование вектора ограничениий
- •Параметрирование вектора ограничениий
- •19. Параметрирование коэффициентов линейной формы
- •20. Модели транспортных задач и их характеристика, условия разрешимости.
- •Простейшая транспортная задача (т-задача)
- •Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями (Td - задача)
- •Транспортные задачи по критерию времени
- •21. Построение начального плана перевозок т-задачи
- •5.2.1. Построение начального плана перевозок
- •Правило северо-западного угла
- •Правило минимального элемента.
- •22.Обоснование метода потенциалов
- •5.2.3. Признак оптимальности
- •23. Алгоритм метода потенциалов.
- •24. Двойственная пара транспортных задач
- •25. Метод потенциалов для Td-задачи
- •5.5. Решение задачи по критерию времени
- •26. Приведение открытой транспортной задачи к закрытой
- •27. Транспортные задачи в сетевой постановке (транспортные сети)
- •28. Задача о максимальном потоке
- •29. Метод декомпозиции Данцига - Вулфа
- •30. Решение транспортной задачи методом Данцига-Вулфа (метод декомпозиции тз)
- •32. Целочисленное программирование
- •7.1. Проблема целочисленности
- •33. Метод отсечений
- •Пример 7.1. Выведем условие отсечения для задачи
- •34. Метод ветвей и границ
- •35. Аддитивный алгоритм
- •36. Нелинейное программирование
- •Теорема
- •37. Квадратичное программирование
- •38. Сепарабельное программирование (сп) и дробно-линейное программирование
- •8.5. Задачи дробно-линейного программирования
- •39. Метод покоординатного спуска и Хука-Дживса Метод первого порядка
- •8.8. Многомерный поиск безусловного минимума
- •8.8.1. Метод Гаусса-Зейделя (покоординатного спуска)
- •Метод Хука-Дживса (метод конфигураций) Метод первого порядка
- •Метод Хука-Дживса (метод конфигураций)
- •40. Симплексный метод поиска
- •41. Градиентные методы
- •Методы сопряженных направлений
- •43. Методы случайного поиска
- •Алгоритм с возвратом при неудачном шаге
- •Алгоритм с обратным шагом
- •Алгоритм наилучшей пробы
- •Алгоритм статистического градиента
- •44. Метод проектирования градиента
- •Метод проектирования градиента
- •45. Генетические алгоритмы
- •46. Метод штрафных функций и барьерных функций
- •Метод барьерных функций
- •47. Динамическое программирование
- •48. Распределение одного вида ресурса
- •49. Дп: задачи о кратчайшем пути и с мультипликативным критерием
- •Задача с мультипликативным критерием.
- •52. Многомерные задачи динамического программирования
- •53. Снижение размерности с помощью множителей Лагранжа
- •56. Многокритериальные задачи: постановка, проблемы, осн. Понятия, методы
- •Многокритериальная задача математического программирования
- •Где искать оптимальное решение
- •Определения
- •Условия оптимальности
- •57. Многокритериальные задачи: функция полезности, лексикографический анализ
- •Методы первой группы
- •Функция полезности
- •Решение на основе лексикографического упорядочения критериев
- •58. Методы главного критерия, свертки, идеальной точки, целевого прогр. Метод главного критерия
- •Линейная свертка
- •Максиминная свертка
- •Метод идеальной точки
- •Целевое программирование (цп)
- •59. Диалоговые методы решения задач по многим критериям
- •Метод уступок
- •Интерактивное компромиссное программирование
- •Построить таблицу
36. Нелинейное программирование
Характеристика задач
Методы нелинейного программирования применяются для решения задач с нелинейными функциями переменных.
В общем случае задача математического программирования записывается в виде:
(8.1)
Если хотя бы одна функция в модели (8.1) нелинейна, имеем задачу нелинейного программирования (НП). Размерность задачи характеризуется размерностью вектора переменных n и числом условий m1+m2. Однако сложность задачи определяется не столько размерностью, сколько свойствами функций цели и ограничений.
Разнообразие задач НП очень велико. Универсальных методов решения таких задач не существует. Имеется весьма ограниченное число точных методов и намного больше приближенных.
Наиболее развиты методы решения задач выпуклого программирования. К этому классу относятся задачи НП с выпуклым допустимым множеством и выпуклой целевой функцией при минимизации или вогнутой при максимизации. Допустимое множество выпуклое, если все функции линейные и выпуклы при неравенстве или вогнуты при . Например, условие x12+x22 r2 порождает выпуклое множество, пересечение которого с прямой x1+x2=0 дает тоже выпуклое множество. Очевидно, что задачи ЛП относятся к этому классу. Главная особенность задач выпуклого программирования в том, что они унимодальны, то есть любой их локальный оптимум является глобальным. Для ряда задач выпуклого программирования с дифференцируемыми функциями разработаны точные методы. Наибольшие сложности возникают при решении многоэкстремальных задач, которые по определению не относятся к классу выпуклых.
Важным классом НП являются задачи квадратичного программирования. В них целевая функция представляет собой сумму линейной и квадратичной форм, а все условия линейные. При выпуклости (вогнутости) квадратичной формы они являются частным случаем задач выпуклого программирования.
В нелинейном программировании выделяют также задачи сепарабельного программирования. Это задачи, в которых все функции сепарабельны. Функция сепарабельна, если она представляется в виде сумы функций отдельных переменных. Линейная функция – частный случай сепарабельной. Сепарабельная задача может быть одновременно и задачей выпуклого программирования.
Задачи геометрического программирования составляют отдельный класс НП. Все функции в таких задачах являются позиномами. В общем виде позиномом называется функция
,
в которой kj – любые действительные числа.
Задачи геометрического программирования ставятся только на минимум:
Такие задачи чаще возникают в конструкторских разработках. Для них разработаны специальные методы.
Пример 8.1. Спроектировать открытый контейнер с прямоугольными стенками и днищем для перевозки из карьера гравия объемом V, если стоимость одной перевозки С не зависит от объема контейнера, а стоимость 1м2 днища равна a, передней и задней стенок – b, боковых стенок – d.
П усть x – ширина, y – глубина и z – высота контейнера (рис.8.1). Тогда целевая функция, суммарные затраты, запишется в виде
Получили типичный позином.▲
К усочно-линейное программирование включает специальные методы решения задач с кусочно-линейными функциями. В частности, такими являются функции
и
если все fi(X) – линейные функции. Первая из них – выпуклая (рис. 8.2), вторая – вогнутая. Задачи с такими функциями могут входить в класс задач выпуклого программирования. Их решение строится на преобразовании модели к линейному виду с последующим применением методов ЛП.
К линейным сводятся также задачи дробно-линейного программирования. Они отличаются от линейных только дробной целевой функцией, числитель и знаменатель которой – линейные функции.
Условия оптимальности
Важным свойством задач НП является дифференцируемость функций критерия и ограничений. Для таких задач получены условия оптимальности, на основе которых строится ряд методов НП.
Пусть дана задача в виде
(8.2)
Обобщенный метод множителей Лагранжа применим и к условиям-неравенствам. Запишем функцию Лагранжа (регулярную) для задачи (8.2)
. (8.3)
В теории НП показано, что эта функция имеет седловую точку (X*,*) c максимумом по X и минимумом по :
F(X, *) F(X*, *) F(X*, ). (8.4)
Поэтому задача (8.2) сводится к отысканию седловой точки функции (8.3).