2. Несуперечність числення висловлень

Аксіоматична теорія називається несуперечною, Якщо для жодного із тверджень А, сформульованого в термінах цієї теорії, само твердження А і його заперечення А не можуть одночасно бути теоремами цієї теорії.

Теорема 8.4 (про несуперечність ЧВ). ЧВ є несуперечною аксіоматичною теорією.

Доведення. Припустимо, що ЧВ суперечлива теорія. Тоді в ЧВ є така формула F , що F і F є теоремами ЧВ. За теоремою про повноту F і F є тавтологіями алгебри висловлень, що неможливо. Отже, ЧВ несуперечна аксіоматична теорія.

3. Проблема розв’язності

Аксіоматична теорія називається розв’язною, якщо існує алгоритм, який дозволяє для будь-якого твердження, сформульованого в термінах цієї теорії, відповісти на запитання, буде чи ні це твердження теоремою даної теорії.

Теорема 8.5 (про несуперечність ЧВ). ЧВ є розв’язною аксіоматичною теорією.

Доведення. Згідно теореми про повноту довідність формули в ЧВ еквівалентна тотожній істинності цієї формули. Останнє можна установити за допомогою побудови таблиці істинності.

4. Незалежність системи аксіом чв

Система аксіом  називається незалежною якщо жодна з аксіом А цієї системи не може бути виведена з інших аксіом системи, тобто з системи \{A}.

Щоб довести незалежність певної аксіоми А від інших аксіом системи потрібно побудувати модель у якій би виконувалися всі аксіоми системи \{A} і не виконувалася б аксіома А. Це означає, що кожному первісному поняттю й відношенням між поняттями потрібно надати конкретний зміст через деякі конкретні предмети й відношення між ними. Причому це потрібно робити так, щоб вибрані конкретні предмети й відношення між ними мали властивості, сформульовані в аксіомах системи \{A}, й не мали б властивості A. Така сукупність конкретних предметів і відношень між ними називається моделлю системи аксіом \{A}. ЇЇ наявність доводить незалежність аксіоми A від аксіом \{A}. Дійсно, якщо A можна було б вивести із \{A}, то в будь-якій моделі, в якій виконувалися б усі аксіоми зі системи \{A}, виконувалася б і аксіома A.

Покажемо, наприклад, що аксіома А1 ЧВ не залежить від аксіом А2 та А3. Для цього побудуємо трьохелементну множину М= {1, 2, 3} і введемо в ній дві операції. Перша операція  унарна, вона ставить у відповідність кожному елементу АМ елемент із М, який позначається А, а друга операція бінарна, вона ставить у відповідність будь-яким двом елементам А,ВМ елемент із М, який позначається АВ. Причому відповідність про яку йде мова визначається наступними таблицями:

А		¬А
0 1 2		1 1 0

А	В
0 0 0 1 1 1 2 2 2	0 1 2 0 1 2 0 1 2		0 2 2 2 2 0 0 0 0

Якщо тепер усім змінним, що входять в довільну формулу ЧВ надати деякого значення із М, то згідно введеним правилам сама формула прийме деяке значення із М. Формулу Яка завжди приймає значення 0, називатимемо виділеною.

Покажемо, що будь яка формула, що одержується за схемою аксіома А2, є виділеною. Для цього складемо таблицю значень формули А2 (передостанній стовпчик є формулою ).

F	G	H						K	(A2)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2	0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2	0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2		0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0	0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Аналогічно можна показати, що будь яка формула, яка одержується за схемою аксіома А3, є виділеною.

Далі покажемо, що правило виводу МР зберігає властивість виділення, тобто, якщо формули F i FG є виділеними, то й формула G є виділеною.

Дійсно, в таблиці, яка визначає операцію  над елементами множини М= {1, 2, 3}, бачимо, що формули F i FG приймають одночасно значення 0 лише в першому рядку. Але в цьому рядку й формула G також приймає значення 0.

Із викладеного випливає: будь-яка формула, яка виводиться із аксіом А2 і А3 за допомогою правила МР, є виділеною.

Щоб показати, що аксіому А1 не можна одержати із аксіом А2 і А3 за допомогою правила МР, потрібно впевнитися, що А1 не є виділеною. Це легко зробити використовуючи наведені вище таблиці відповідності.

Аналогічно можна установити незалежність аксіом А2 і А3.

Звідси випливає наступна теорема.

Теорема 8.6. Система аксіом А1, А2, А3 ЧВ незалежна.

Існують й інші числення висловлень, тобто числення з іншими системами аксіом і правилами виведення.

Як приклад, розглянемо гільбертовське числення висловлень, викладене у спільній з Аккерманом праці в 1938 році. Воно містить дві пропозиційні зв’язки  , . Запис А  В уживається для скорочення запису АВ. Аксіоми числення наступні:

1. А  А  А – принцип тавтології;

2. А  А  В – принцип приєднання;

3. А  В  В  А – принцип переставлення;

4. (А  В)  ( С  А  С  В ) – принцип сумування.

Правилом виведення є правило modys ponens:

Наведемо ще один приклад приклад.

Розглянемо гільбертовську аксіоматизацію числення висловлень, яку будемо позначати ЧВ1.

Аксіоми ЧВ1 одержуються із наступних 10 схем підстановкою конкретних формул ЧВ1 замість змінних Ф, Ψ, Х.

1. Ф  (Ψ  Ф),

2. (Ф  Ψ)  ( ( Φ  ( Ψ  Х ) )  ( Φ  Х ) ),

3. ( Ф  Ψ )  Φ,

4. ( Ф  Ψ )  Ψ,

5. ( Φ  Ψ )  ( ( Φ  Х )  ( Φ  ( Ψ  Х ) ) ),

6. Ф  ( Ф  Ψ ),

7. Ф  ( Ψ  Φ ),

8. ( Ф  Х )  ( ( Ψ  Х )  ( ( Φ  Ψ )  Х ) ),

9. ( Φ  Ψ )  ( ( Φ   Ψ )   Φ )

10.   Ф  Ф.

Правило виведення в ЧВ1 modus ponens.

Приклад виведення формули Ф  Ф.

1. Ф  (Ф  Ф) – аксіома,

2. Ф  (( Ф  Ф)  Ф) – аксіома,

3. (Ф  ( Ф  Ф))  (( Ф  (( Ф  Ф)  Ф) )  (Ф  Ф)) – аксіома,

4. (Ф  (( Ф  Ф)  Ф))  (Ф  Ф) – правило виведення до 1 і 3,

5. Ф  Ф – правило виведення до 2 і 4.

Широко застосовуються також системи С. Кліні, Дж. Россера, Г. Фреге, секвенціальні числення Генцена та інші.