Математика Стародавнього Єгипту Ми почнемо наше дослідження набагато раніше зазначених дат в описі проекту. Адже успіхи античних математиків (у тому числі і Фалеса) не могли виникнути на порожньому місці. Народи Стародавнього сходу на протязі багатьох століть зробили чимало відкриттів в арифметиці, геометрії та астрономії. Найбільш ранні математичні тексти, відомі в наші дні, залишили дві великі цивілізації старовини - Єгипет і Месопотамія. Саме там з'явилися перші математичні завдання, вирішення яких вимагала повсякденне життя. Рівень староєгипетської математики був досить високий. Джерел, за якими можна судити про рівень математичних знань стародавніх єгиптян, зовсім небагато. По-перше, це папірус Райнда, названий так за ім'ям свого першого власника. Він був знайдений в 1858 р., розшифрований і видано в 1870 р. Рукопис являла собою вузьку (33 см) і довгу (5,25 м) смугу папірусу, містить 84 завдання. Тепер одна частина папірусу зберігається в Британському музеї в Лондоні, а інша знаходиться в Нью-Йорку. По-друге, так званий Московський папірус - його в грудні 1888 р. придбав у Луксорі російська Єгиптолог Володимир Семенович Голенищев. Зараз папірус належить Державному музею образотворчих мистецтв імені О. С. Пушкіна. Цей сувій довжиною 5,44 м і шириною 8 см включає 25 завдань. І нарешті, "Шкіряний сувій єгипетської математики", з великими труднощами розправлені в 1927 р. і багато в чому пролив світло на арифметичні знання єгиптян. Нині він зберігається в Британському музеї. Подібні папіруси, очевидно, служили свого роду підручниками. У папірусах є завдання на обчислення - зразки виконання арифметичних операцій, завдання на розділ майна, на знаходження об'єму комори або кошика, площі поля і т. д. Всі правила рахунку древніх єгиптян грунтувалися на вмінні складати і віднімати, подвоювати числа і доповнювати дробу до одиниці. Множення і ділення зводили до складання за допомогою особливої ​​операції - багаторазового подвоєння або роздвоєння чисел. Виглядали такі розрахунки досить громіздким. Для дробів були спеціальні позначення. Єгиптяни використовували дробу виду 1 / n, де n - натуральне число. Такі дробу називаються аліквотних. Іноді замість поділу m: n виробляли множення m * (1 / n). Треба сказати, що дії з дробами складали особливість єгипетської арифметики, в якій найпростіші обчислення часом перетворювалися в складні завдання. Порівняно невеликий коло завдань у єгипетських папірусах зводиться до вирішення найпростіших рівнянь з одним невідомим. При вирішенні подібних завдань для невідомого використовували спеціальний ієрогліф зі значенням "купа". У задачах про "купу", розв'язуваних єдиним методом, можна угледіти зачатки алгебри як науки про рівняннях. У єгипетських папірусах зустрічаються також завдання на арифметичну і геометричну прогресії, що ще раз підкреслює не тільки практичний, але і теоретичний характер давньої математики. Дивно, але при досить примітивною і громіздкою арифметиці єгиптяни змогли добитися значних успіхів в геометрії. Вони вміли точно знаходити площа поля прямокутної, трикутної та трапецієподібної форми. Відомо, що в середині І тисячоліття до н. е.. для побудови прямого кута єгиптяни використовували мотузку, розділену вузлами на 12 рівних частин. Кінці мотузки пов'язували і потім натягували її на 3 кілочка. Якщо сторони ставилися як 3:4:5, то виходив прямокутний трикутник. І це - єдиний прямокутний трикутник, який знали в Древньому Єгипті. Важливим досягненням геометричній науки єгиптян було дуже хороше наближення числа π, яке виходить з формули для площі кола діаметра d. Цьому правилу з п'ятидесятих завдання папірусу Райанда відповідає значення π »3,1605. Проте яким чином єгиптяни отримали саму формулу, з контексту незрозуміло. Зауважимо, що на всьому Стародавньому Сході при обчисленнях використовувалося значення π = 3. Так що в цьому відношенні єгиптяни набагато випередили інші народи. Серед просторових тіл самим "єгипетським" можна вважати піраміду, адже саме таку форму мають знамениті усипальниці фараонів. Так ось, виявляється, окрім об'єму куба, паралелепіпеда, призми і циліндра єгиптяни вміли обчислювати обсяг усіченої піраміди, в основах якої лежать квадрати із сторонами a і b, а висота h. Для цього вони застосовували спеціальну формулу. Ця формула вважається найвищим досягненням староєгипетської математики. Математика в Древньому Єгипті представляла собою сукупність знань, між якими ще не існувало чітких кордонів. Це були правила для вирішення конкретних завдань, що мали практичне значення. І лише поступово, дуже і дуже повільно, завдання почали узагальнюватися і набувати більш абстрактні риси. Як могло з'явитися перше наближення числа π З приводу формули площі кола нам здається дуже правдоподібною гіпотеза автора численних книг з історії математика А.Є. РАІК: площа кола діаметра d порівнюється з площею описаного навколо нього квадрата, з якого по черзі видаляються малі квадрати із сторонами (1 / 6) d і (1 / 9) d. У наших позначеннях обчислення будуть виглядати так. У першому наближенні площі кола S дорівнює різниці між площею квадрата зі стороною d і сумарною площею 4-ох малих квадратів А зі стороною (1 / 6) d: S »d ² -4 (1 / 6 * d) ² = d ² (1-1/9) = (8 / 9) d ² Далі з отриманої площі потрібно відняти площу 8-ми квадратів У зі стороною (1 / 9) d, і тоді площа кола буде наближено дорівнює наступного виразу: S »(1-1/9) d ² -8 (1 / 9 * d) ² = (1-1/9) d ² -1 / 9 * (8 / 9) d ² = (1-1/9 ) d ² -1 / 9 (1-1/9) d ² = (1-1/9) ² d ²

Математичний папірус Рінда — давньоєгипетський навчальний посібник з арифметики і геометрії періоду Середнього царства, переписане прибл. 1650 до н. е. переписувачем Ахмесом на сувій папірусу довжиною 5,25 метрів і шириною 33 см.

Папірус було знайдено у 1858 році. У 1870 папірус розшифровано, перекладено і видано. Нині більшість рукопису перебуває у Британському музеї, у Лондоні, решта — в Нью-Йорку.

Папірус Рінда містить умови і розв'язки 84 задач і є найповнішим єгипетським задачником, що дійшли донині. Московський математичний папірус, що знаходиться у Державний музей образотворчих мистецтв імені О. С. Пушкіна, поступається папірусу Рінда за повнотою (він з 25 завдань), але, мабуть, перевершує віком. Встановлено, що справжній оригінал, від якого був переписаний папірус Рінда, віднесено до другої половині ХІХ століття до н. е.; ім'я його автора невідомо. Окремі дослідники припускають, що він міг бути складений виходячи з іще древнішого тексту III тисячоліття до н. е.

У вступній частині папірусу Рінда пояснюється, що він присвячений «здійсненого і обгрунтованому дослідженню всіх речей, розумінню їх сутності, пізнання їх таємниць». Усі завдання є у тому чи іншому ступені практичного характеру і можуть бути застосовані у будівництві, розмежуванні земельних наділів та інших сферах життя і виробництва. Переважно це завдання на знаходження площ трикутника, чотирикутника і кола, різноманітні дії з цілими числами і аліквотними дробами, пропорційний поділ, знаходження відношень.

Разом з тим, у папірусі є низка свідчень те, що математика в Древньому Єгипті переросла виключно практичну стадію. Так, єгипетські математики вміли брати корінь й підносити до степеня, були знайомі з арифметичною та геометричною прогресією (одне з завдань папірусу Рінда зводиться до пошуку суми членів геометричної прогресії). Безліч завдань, зводяться до вирішення рівнянь (зокрема квадратних) із однією невідомою, вживають спеціальний ієрогліф «купа» (аналог латинського x, традиційно уживаного у сучасній алгебрі) для позначення невідомого.

Папірус Рінда, як і Московський математичний папірус, показує, що стародавні єгиптяни доволі точно визначали наближення числа π ≈ 3,16 ((16/9)²), тоді як у всьому Давньому Близькому Сході воно вважалося рівним трьом. Проте папірус свідчить і про вади єгипетської математики. Наприклад, площа довільного чотирикутника у них обчислюється перемноженням півсум довжин двох пар протилежних сторін, тоді як рівність має місце лише у прямокутнику. Єгипетські математики користувалися лише аліквотними дробами (виду 1/n, де n — натуральне число) і дробом 2/3.

Давньогрецькі математики

Математика виникла і розвивалася з практичних потреб людини. Наприклад, стародавні єгипетські вчені цікавилися насамперед тим, як застосовувати математичні знання у землевпорядкуванні, спорудженні храмів для богів, палаців і пірамід для фараонів, визначних воєначальників і жерців. На основі практики єгиптяни сформували правила обчислення площ найпростіших плоских фігур, об'ємів куба, прямокутного паралелепіпеда, піраміди з квадратною основою, зокрема зрізаної. Єгипетські землевпорядники, користуючись довгий час мірною вірьовкою, встановили, що трикутник із сторонами 3, 4 і 5 мір завжди прямокутний. Але питанням про те, чи існують прямокутні трикутники з іншим відношенням чисел, якими вимірюються довжини їх сторін, вони не займалися.

Стародавні вавілоняни і єгиптяни не змогли теоретично узагальнити практично набуті знання про число, про математичні залежності між геометричними поняттями—плоскими і просторовими фігурами та їх елементами, про деякі властивості чисел натурального ряду тощо. Це зробили грецькі вчені.

Теоретичні досягнення грецьких учених тим знаменніші, що грецька система письмової нумерації хоч і була простішою, ніж у Вавілоні й Єгипті, але алфавітною. Числа 1, ..., 9 позначалися першими буквами грецького алфавіту, числа 10, 20, ..., 90 — наступними дев'ятьма буквами, числа 100, 200.....900 — дальшими буквами. Усі інші числа в межах 10—999, зображали комбінаційним переставлянням букв, позначених зверху чи знизу рисками й крапками. Зрозуміло, що при такому способі письмової нумерації дуже важко було запам'ятовувати зображені числа, а ще важче — виконувати навіть найпростіші дії над ними.

Найдавнішим з грецьких учених був Фалес Мілетський. Узагальнивши на вищому рівні абстрактного мислення те, чого навчився він у Єгипті з математики, Фалес Мілетський методами математики сприяв значному розвитку астрономії та підготував своїми працями молодші покоління, які жили в часи Піфагора, Евкліда, Архімеда та пізніше.

Філософ Платон багато вніс у проблему розв'язування задач на побудову за допомогою тільки циркуля і лінійки, коли правильність побудови логічно доводиться посиланням на аксіоми й теореми геометрії. Це мало величезне значення у розвитку геометрії як дедуктивної науки. Платон ввів у математику терміни аналіз і синтез. Він вимагав строгого, чіткого формулювання означень геометричних понять, правил дій над числами тощо.

Учень Платона філософ і основоположник логіки Арістотель критикував свого вчителя за те, що той у тлумаченні різних явищ природи і суспільних подій посилався на волю богів. Арістотель висловив правильну думку, що закони важеля можна і треба підкріпити математичними виразами залежностей між силами, які діють на важіль. Він також розв'язав фізичну задачу на додавання сил.

Сучасниками Арістотеля були Дінострат (теж учень Платона) та Арістарх Самоський. Дінострат прославився тим, що вказав на можливість спрямлення кола за допомогою кривої, якою ділили коло на частини, пропорційні довжинам довільних відрізків, відкладених на прямій, та розпочав дослідження методом вичерпування зміни функцій кута, які сучасною мовою ми називали б синусом і тангенсом.

Арістарх Самоський за допомогою співвідношень, які зараз називають тригонометричними нерівностями, досить точно обчислив відстань Землі до Сонця і Місяця; він висловив сміливу для того часу гіпотезу, за якою планети, Земля і Місяць рухаються всередині сфери нерухомих зір, у центрі якої розташоване нерухоме Сонце. За це вченого звинуватили у безбожності і прогнали з Афін.

Згадаємо ще таких математиків, як Діофант (III ст. н. е.), Ератосфен і Аполлоній Пергський. Діофант уславився своїми дослідженнями з теорії чисел. Дослідження Діофанта стали основою для розвитку теорії чисел у наступні століття.

Друг Архімеда Ератосфен заклав основи математичної географії, вперше виміряв довжину земного меридіана, йому належить хоч і довгий,але абсолютно надійний спосіб вилучення з натурального ряду простих -чисел (Ератосфенове решето). Учений написав змістовні праці з історії розвитку математики, музики і театру.

Аполлоній Пергський уславився дослідженнями властивостей конічних перерізів, тобто різного виду кривих, що утворюються на поверхні конуса від перетину його площиною. Учений вивів властивості еліпса, параболи й гіперболи, що ефективно вплинуло на розвиток астрономії, а в XVII ст.— на розвиток аналітичної геометрії.

В II ст. до н. е. вагомий вклад у розвиток математики внесли ще троє старогрецьких учених — Гіпсікл Александрійський, його ровесник Гіппарх і дещо молодший за них Посідоній. Перший написав деякі праці з географії й геометрії. Історики математики схиляються до думки, що саме Гіпсікл написав після смерті Евкліда XIV книгу його «Начал».

Астроном Гіппарх гаряче відстоював ідеї наукового розвитку астрономії, вільної від будь-яких релігійних тлумачень ще не досліджених небесних явищ. Учений створив теорію руху Місяця, теорію сонячних затемнень та склав каталог тисячі зірок, розподіливши їх залежно від яскравості на шість груп, причому встановив положення кожної на небесній сфері.

Математик і астроном Посідоній повторив спробу Ератосфена визначити розміри Землі. Йому вдалося встановити відстань від Землі до Місяця з дивовижною для того часу точністю. Вважають, що Посідоній перший намагався довести як теорему п'ятий постулат Евкліда.

У І ст. до н. е. жив ще один видатний інженер, механік і математик — Герон Александрійський. Він винайшов спосіб обчислення площі трикутника за трьома відомими його сторонами та сформулював правило, в якому виклав послідовність виконання необхідних дій над відповідними числовими даними. Герон сконструював багато цікавих технічних іграшок, зокрема водяний годинник, автомат для продажу води та лічильник шляху — прилад, принцип дії якого такий, як і сучасного лічильника на автомашині.

Завдяки визначним досягненням давньогрецьких математиків і було створено науково-теоретичний грунт, на якому наступні покоління вчених розвивали математику. Проте через різні причини історичного характеру твори давньогрецьких математиків вивчали спочатку вчені Середньої Азії, Близького Сходу і набагато пізніше — вчені Західної Європи.

З найвидатнішими представниками давньогрецьких математиків ви й ознайомитесь у цьому розділі книжки.

Математика в Древнем Египте

Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э.

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно^[1], что греческие математики учились у египтян^[2].

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

[править] Источники

Часть папируса Ахмеса. Задачи с 49 по 55.

Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:

• Папирус Ахмеса или папирус Ринда — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.

• Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.

• Так называемый «кожаный свиток», 25 × 43 см.

• Папирусы из Лахуна (Кахуна), содержащие ряд фрагментов на математические темы.

• Берлинский папирус, около 1300 года до н. э.

• Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).

• Папирус Рейснера, примерно XIX век до н. э.

От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным ^[3].

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.