1.3 Вузлові та контурні рівняння стану еес

Об’єднуючи матричні рівняння першого та другого законів Кірхгофа в загальну систему, отримаємо узагальнене рівняння стану електричного кола, вигляд якого не залежить від його конфігурації і числа елементів:

M I = J

N Z_B I=E

Ці рівняння можна об’єднати в одне, якщо матриці і розглядати як блоки однієї об’єднаної матриці параметрів схеми заміщення системи:

,

а матриці J і E_k розглядати як блоки однієї об’єднаної матриці вихідних параметрів режиму:

.

При цьому узагальнене рівняння стану прийме вигляд:

A I = F

Тут матриця є квадратною і в звичайних умовах неособливою, тому отримане рівняння стану можна розв’язати відносно матриці струмів віток.

Загальне рівняння стану буде мати вигляд:

Система, що складається із (n-1) рівнянь, що зв’язують напруги вузлів відносно балансувального із задавальним струмом в вузлах і ЕРС у вітках, називається системою вузлових рівнянь. Вона широко використовується у практиці розрахунків усталених режимів складних електричних систем. Система вузлових рівнянь може бути отримана таким чином:

підставляючи у рівняння , що пов’язує матриці U_B і U_Δ, вираз U_B із (1.1), отримаємо

M_tU_Δ = Z_BI - E;

розв’язавши отримане рівняння відносно струму I (що можливо, оскільки Z_B – квадратна і неособлива матриця), будемо мати

I = Z_B^-1(M_tU_Δ + E)

підставляючи вираз для I в рівняння першого закону Кірхгофа, отримаємо:

J = MZ_B^-1M_tU_Δ - MZ_B^-1E

звідки

MZ_B^-1M_tU_Δ = J – MZ_B^-1E

Визначимо матрицю провідності віток як

Позначимо

.

Отримана квадратна матриця порядку (n-1) називається матрицею вузлових провідностей. Вона дає можливість отримати кінцеву форму запису системи вузлових рівнянь (матричне вузлове рівняння):

Y_yU_Δ = J - MY_BE

Розв’язавши дане рівняння відносно U_Δ, можна розрахувати спад напруги на вітках схеми і знайти струми у вітках схеми.

Система вузлових рівнянь:

Сформуємо контурне матричне рівняння для даної схеми:

Система контурних рівнянь:

Для подальших розрахунків будемо використовувати систему вузлових рівнянь.

2. Аналіз методів розв`язування системи рівнянь стану еес

Методи розв'язування рівнянь стану ЕЕС можна розділити на дві великі групи - прямі й ітераційні. До прямих відносяться методи, що дозволяють одержати розв'язок в результаті кінцевої кількості арифметичних операцій, які залежать від обчислювального алгоритму, а також від порядку і структури матриці коефіцієнтів системи рівнянь. В математиці методи цієї групи називаються також точними, оскільки, якщо вихідні дані задані точно (у вигляді цілих чисел або звичайних дробів) і обчислення виконуються точно (наприклад, за правилами дії над звичайними дробами), то розв’язок також виходить точним. Відзначимо, що при розв’язуванні технічних задач на ЕОМ через похибки задання вхідної інформації (із припустимою для даної задачі точністю) і неминучого округлення проміжних результатів обчислень одержати точний результат принципово неможливо, і в цьому змісті термін "точний метод" є умовним.

До ітераційних відносяться методи, за допомогою яких розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь отримуємо як межу послідовних наближень до певної величини: Процедура обчислень відбувається за допомогою однотипних операцій. В математиці ітераційні методи називаються наближеними, оскільки навіть у припущенні, що обчислення ведуться без округлень, вони дозволяють одержати розв'язок системи рівнянь лише з заданою точністю.