2. Дифференцирующие цепи

Для того чтобы получить импульс желаемой формы из заданной формы напряжения с помощью пассивной электрической цепи, необходимо знать формирующие свойства этой цепи. Формирующие свойства характеризуют способность линейной цепи определённым образом изменять форму передаваемого (обрабатываемого) сигнала и полностью определяются видом её частотных и временных характеристик.

В импульсной технике для формирования сигналов широко применяются линейные двух- и четырёхполюсники.

Дифференцирующей называется цепь, на выходе которой напряжение пропорционально первой производной от входного напряжения. Математически это выражается следующей формулой:

………………………. (2.1),

где U_вх – напряжение на входе дифференцирующей цепи;

U_вых – напряжение на выходе дифференцирующей цепи;

k – коэффициент пропорциональности.

Дифференцирующие цепи (ДЦ) применяются для дифференцирования видеоимпульсов. При этом дифференцирующие цепи позволяют производить следующие преобразования:

• укорочение прямоугольных видеоимпульсов и формирование из них остроконечных импульсов, служащих для запуска и синхронизации различных импульсных устройств;

• получение производных по времени от сложных функций. Это используется в измерительной технике, системах авторегулирования и автосопровождения;

• формирование прямоугольных импульсов из пилообразных.

Простейшими дифференцирующими цепями являются ёмкостная (RC) и индуктивная (RL) цепи (рис.2.1):

а) б)

Рис.2.1. Виды дифференцирующих цепей:

а) ёмкостная ДЦ; б) индуктивная ДЦ

Индуктивная дифференцирующая цепь применяется гораздо реже, чем ёмкостная по чисто практическим соображениям. Дело в том, что для выполнения условия дифференцирования требуется катушка с большой индуктивностью. Такие катушки без железа получаются очень громоздкими и имеют боль-шую паразитную (межвитковую) ёмкость, искажающую результат дифференцирования. Применять же катушки с железом нежелательно, т.к. искажается форма тока из-за нелинейности кривой намагничивания железа, вследствие чего при дифференцировании возникают нелинейные искажения выходного сигнала. Поэтому мы будем рассматривать ёмкостную дифференцирующую цепь.

Покажем, что RC- цепь при определённых условиях становится дифференцирующей.

Известно, что ток, протекающий через ёмкость, определяется выражением:

........................................... (2.2).

В то же время из рис.2.1,а очевидно, что

,

т.к. R и C представляют собой делитель напряжения. Поскольку напряжение

, то .

Выходное напряжение

………………….... (2.3).

Подставив выражение (2.2) в (2.3), получим:

……………… (2.4).

Если выбрать достаточно малую величину R так, чтобы выполнялось условие,

то получим приближённое равенство

……………………….. (2.5).

Это равенство тождественно (2.1).

Выбрать R достаточно малой величины – это значит обеспечить выполнение неравенства

, т.е. ,

где ω_в = 2πf_в – верхняя граничная частота гармоники выходного сигнала, ещё имеющая существенное значение для формы выходного импульса.

Коэффициент пропорциональности в выражении (2.1) k = RC = τ носит название постоянной времени дифференцирующей цепи. Чем резче изменяется подводимое напряжение, тем меньшей величиной τ должна обладать дифференцирующая цепь, чтобы на выходе напряжение было близко по форме к производной от U_вх. Параметр τ = RC имеет размерность времени. Это можно подтвердить тем, что в соответствии с Международной системой единиц (СИ) единица измерения электрического сопротивления

,

а единица измерения электрической ёмкости

.

Следовательно,

Принцип действия дифференцирующей цепи.

Принципиальная схема ёмкостной дифференцирующей цепи изображена на рис.2.2, а эпюры напряжений – на рис.2.3.

Рис.2.2. Принципиальная схема ёмкостной дифференцирующей цепи

Пусть на вход подаётся идеальный прямоугольный импульс, у которого

τ_ф = τ_с = 0, а внутреннее сопротивление источника сигнала R_i = 0. Пусть импульс определяется следующим выражением:

1. Исходное состояние схемы (t < t₁).

В исходном состоянии U_вх = 0; U_с = 0; i_с = 0; U_вых = 0.

2. Первый скачок напряжения (t = t₁).

В момент времени t = t₁ на вход ДЦ подаётся скачком напряжение

U_вх = Е. В этот момент U_с = 0, т.к. за бесконечно малый промежуток времени ёмкость зарядиться не может. Но, в соответствии с законом коммутации, ток через ёмкость может нарастать мгновенно. Следовательно, в момент t = t₁ ток, протекающий через ёмкость, будет равен

Поэтому напряжение на выходе цепи в этот момент будет равно

3. Заряд конденсатора (t₁ < t < t₂).

После скачка начинается заряд конденсатора током, убывающим по экспоненциальному закону:

Рис.2.3. Эпюры напряжений на элементах дифференцирующей цепи

Напряжение на конденсаторе будет нарастать по экспоненциальному

закону:

…………………… (2.6).

Напряжение на выходе ДЦ будет падать по мере нарастания напряжения

заряда на конденсаторе, т.к. R и C представляют собой делитель напряжения:

…………. (2.7).

Необходимо помнить, что в любой момент времени для делителя напряжения выполняется равенство

откуда следует, что

,

что подтверждает справедливость выражения (2.7).

Теоретически заряд конденсатора будет продолжаться бесконечное время, но практически этот переходный процесс заканчивается через

(3…5)τ_зар = (3…5)RC.

4. Окончание заряда конденсатора (t = t₂).

После окончания переходного процесса ток заряда конденсатора стано-вится равным нулю. Поэтому напряжение на выходе дифференцирующей цепи

достигает практически нулевого значения, т.е. в момент времени t = t₂

5. Установившийся режим (t₂ < t < t₃).

При этом

6. Второй скачок напряжения (t = t₃).

В момент времени t = t₃ напряжение на входе дифференцирующей цепи скачком падает до нуля. Конденсатор C становится источником напряжения, т.к. он заряжен до величины .

Так как в соответствии с законом коммутации напряжение на конденсаторе скачком изменяться не может, а ток, протекающий через ёмкость, может изменяться скачкообразно, то в момент t = t₃ напряжение на выходе скачком уменьшается до – Е. При этом ток разряда в данный момент времени становится максимальным:

,

а напряжение на выходе дифференцирующей цепи

.

Выходное напряжение имеет знак «минус», т.к. ток изменил своё направление.

7. Разряд конденсатора (t₃ < t < t₄).

После второго скачка напряжение на конденсаторе начинает уменьшаться по экспоненциальному закону:

; ;

8. Окончание разряда конденсатора и восстановление исходного состояния схемы(t ≥ t₄).

После окончания переходного процесса разряда конденсатора

Таким образом, схема возвратилась в исходное состояние. Окончание разряда конденсатора наступает практически при t = (3…5)τ = (3…5) RC.

Так как мы приняли внутреннее сопротивление источника сигнала R_i = 0, то можно считать, что постоянные времени цепей заряда и разряда конденсатора τ_зар = τ_раз = τ = RC.

В такой идеальной цепи амплитуда выходного напряжения U_вых.mах не зависит от значения параметров цепи R и C, а длительность импульсов на выходе определяется величиной постоянной времени цепи τ = RC. Чем меньше значения R и C, тем быстрее заканчиваются переходные процессы заряда и разряда ёмкости, тем короче импульс на выходе цепи.

Теоретически длительность импульса на выходе дифференцирующей цепи, определяемая по основанию, оказывается бесконечно большой, поскольку напряжение на выходе спадает экспоненциально. Поэтому длительность импульса определяется на определённом уровне от основания

U₀ = αU_вых (рис.2.4):

Рис.2.4. Определение длительности импульса на уровне U₀ после

дифференцирования

Определим длительность продифференцированного импульса на уровне

U₀ = αU_вых:

………………. (2.8),

откуда и ……………………… (2.9).

Дифференцирование всегда сопровождается укорочением длительности импульса. Это означает, что ёмкость C должна успевать полностью зарядиться за время действующего входного дифференцируемого импульса. Следовательно, условием практического дифференцирования с целью укорочения длительности импульса является соотношение:

τ_{и вх} > 5τ = 5RC.

Чем меньше τ цепи, тем быстрее заряжается и разряжается конденсатор и тем меньшую длительность имеют выходные импульсы, тем более остроконечными они становятся и, следовательно, тем точнее дифференцирование. Однако уменьшать τ целесообразно до определённого предела.

Изменение формы импульса на выходе дифференцирующей цепи можно объяснить с точки зрения спектрального анализа.

Каждая гармоника входного импульса делится между R и C. Для гармоник низких частот, определяющих вершину входного импульса, конденсатор представляет большое сопротивление, т.к.

>> R.

Поэтому на выход плоская вершина входного импульса почти не передаётся.

Для высокочастотных составляющих входного импульса, формирующих его фронт и срез,

<< R.

Поэтому фронт и срез входного импульса на выход передаются практически без ослабления. Эти соображения позволяют определить дифференцирующую цепь как фильтр верхних частот.