![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Модели прочностной надежности. Основные определения.
- •2. Нормальные и касательные напряжения. Правило знаков.
- •6. Главные площадки и главные напряжения.
- •7. Инварианты напряженного состояния в точке. Тензор напряжений.
- •8. Дифференциальные уравнения равновесия. Краевые условия для напряжений.
- •9. Деформационное состояние в точке, тензор деформации. Инварианты тензора деформаций.
- •10. Связь деформаций с перемещениями точек твердого тела.
7. Инварианты напряженного состояния в точке. Тензор напряжений.
Расположение главных площадок и значения главных напряжений зависят от действующих напряжений и не зависят от системы координат и ее изменения. Таким образом, коэффициенты ХУНС не зависят от системы координат и называются инвариантами напряженного состояния:
линейный инвариант;
квадратичный инвариант;
кубический инвариант.
Тензор – величина, описываемая тремя векторами и девятью скалярными величинами. В силу парности касательных напряжений, тензор напряжений, характеризующий напряженное состояние в точке, может описываться шестью скалярными величинами. Тензор напряжений равен кубическому инварианту.
8. Дифференциальные уравнения равновесия. Краевые условия для напряжений.
Рассматрим равновесие элементарного параллелепипеда вдоль . Сумма всех сил, действующих вдоль на ЭП равна нулю. Эти силы – напряжения и массовые силы, действующие вдоль :
нормальное напряжение, действующее на
грань
;
нормальное напряжение на противоположной
грани;
касательные напряжения, действующие
на грани
и
соответственно;
касательные напряжения, действующие
на противоположные грани;
Запишем уравнение равновесия для :
Записывая уравнения равновесия для остальных осей и раскрывая скобки, получим дифференциальное уравнение равновесия элементарного тела:
Краевые условия
определяют напряжения, действующие на
поверхности тела (нагрузка на тело
).
Элементарную площадку, на которую
действуют эти нагрузки, можно рассматривать
как косую площадку и записать уравнение
равновесия для нее, что и будет являться
краевыми условиями:
Действие распределенной
нагрузки
можно заменить равнодействующей
сосредоточенной нагрузкой
,
при существенной малости площади
нагружения и большой величине силы
нагружения:
Принцип Сан-Венана заключается в том, что на некотором расстоянии от центра приложения распределенной нагрузки, которое на порядок больше линии действия нагрузки, особенности распределения этой нагрузки несущественны.
9. Деформационное состояние в точке, тензор деформации. Инварианты тензора деформаций.
Деформация – изменение формы и размеров тела. Деформации рассматриваются с допущением, что перемещение точек неподвижного тела возможно только в результате деформации. Геометрическая задача заключается в находжении длины и взаимных углов между линейными элементами тела.
Тело может подвергаться линейным и угловым деформациям.
Линейные деформации
– изменение линейных размеров тела,
т.е. вдоль одной оси. Так, изменение
размера
вдоль
будет равно
,
где
начальный размер тела,
приращение размера вдоль
,
относительное приращение размера,
линейная деформация тела.
Угловая деформация
– изменение формы тела сдвигом, без
изменения объема. На плоскости
угловая деформация
складывается из приращения размера
относительно
и размера
относительно
:
Тензор деформации описывает деформацию тела. Он симметричен относительно главной диагонали.
Тензор деформации инвариантен к системе координат и имеет три инварианта:
10. Связь деформаций с перемещениями точек твердого тела.
Связь между деформациями
(
и
)
и перемещениями (
)
устанавливают уравнения Сен-Венана.