- •1. Модели прочностной надежности. Основные определения.
- •2. Нормальные и касательные напряжения. Правило знаков.
- •6. Главные площадки и главные напряжения.
- •7. Инварианты напряженного состояния в точке. Тензор напряжений.
- •8. Дифференциальные уравнения равновесия. Краевые условия для напряжений.
- •9. Деформационное состояние в точке, тензор деформации. Инварианты тензора деформаций.
- •10. Связь деформаций с перемещениями точек твердого тела.
2. Нормальные и касательные напряжения. Правило знаков.
Напряжение – характеристика интенсивности внутренних сил взаимодействия,
вектор совпадает с вектором усилия . Составляющие этого вектора – нормальное и касательное напряжения, зависят от ориентации секущей плоскости, проходящей через рассматриваемую точку.
Нормальные и касательные напряжения рассматриваются на элементарном параллелепипеде, с бесконечно малыми сторонами .
Индекс нормального напряжения указывает направление нормали к площадке, на которую действует это напряжение. Напряжения растяжения считаются положительными (направлены в сторону внешней нормали).
Индекс касательного напряжения состоит из двух: первый указывает направление нормали к площадке, на которую действует напряжение, второй – направление вектора касательных напряжений.
Правило знаков для касательных напряжений: если внешняя нормаль к площадке совпадает с направлением одной из осей координат, то положительное касательное напряжение направлено вдоль соответствующей оси.
3. Свойство парности касательных напряжений.
Касательные напряжения в точке, действующие в двух взаимно перпендикулярных площадках, одинаковы. Направлены или оба к общему ребру, либо от него. Справедливо в любой ортогональной системе координат.
Доказывается с помощью уравнения моментов тела, по которому если тело находится в равновесии, то суммы всех моментов, действующих относительно любой из осей, равны нулю.
На примере :
Массовые силы имеют второй порядок малости и не учитываются, сумма касательных напряжений равна нулю, значит .
4. Виды напряженного состояния.
В зависимости от количества отличных от нуля компонентов вектора напряжений различают одномерное, плоское ( ) и объемное напряженные состояния.
5. Напряжения на произвольной косой площадке.
Напряжение рассматривается при допущении, что размер элемента бесконечно мал, и напряжения действуют на плоскостях, проходящих через одну точку.
Зная напряжения на трех ортогональных плоскостях, пересекающихся в одной точке, можно определить напряжения на любой плоскости, проходящей через эту же точку.
Для этого выразим нормальное напряжение, действующее на произвольной площадке, как сумму составляющих действующей силы по трем осям: . По отношению к площадке эти составляющие будут действовать под углом ( ), поэтому выразим их через косинус этого угла:
С другой стороны, эти же составляющие можно выразить через напряжения на трех ортогональных поверхностях, через условия равновесия, где и т.д., а элементарная площадка на рассматриваемой произвольной плоскости:
После сокращения и подстановки выражения для в выражение получим:
где для краткости .
Касательное напряжение выражается из теоремы Пифагора:
6. Главные площадки и главные напряжения.
Главная площадка – площадка, на которой отсутствуют касательные напряжения. Нормальные напряжения на таких площадках называются главными.
Чтобы выразить величину главных напряжений , действующих на трех главных площадках, выразим через них составляющие вектора сил (все главные напряжения обозначим как ):
Подставим это выражение в условия равновесия, произведя преобразование :
Система имеет решение (т.е. находится в равновесии), если детерминант системы равен нулю:
Развернув определитель (методом треугольников), запишем:
Раскрывая скобки и вводя переменные , запишем характеристическое уравнение напряженного состояния (ХУНС) в сокращенном виде:
Три корня полученного выражения и есть главные напряжения. Для определения ориентации площадки найденное значение главного напряжения подставляется в уравнение равновесия, откуда с учетом теоремы косинусов определяем значения .