Фгбоу впо «ковровская государственная технологическая академия им. В.А. Дегтярева»

Кафедра физики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.6

Законы распределения случайных погрешностей.

Цель работы: изучить основные законы распределения случайных погрешностей.

Задание к работе:

К работе допущен:

Работу выполнил:

Работу защитил:

Введение.

Измерить физическую величину абсолютно точно принципиально невозможно по следующим причинам:

а) несовершенство приборов;

б) влияние внешних условий на характеристики приборов;

в) влияние внешних факторов на параметры изучаемого объекта;

г) субъективные человеческие факторы.

Учитывая все вышеизложенное, на практике возможно указать лишь диапазон значений, в который попадает истинное значение искомой величины с определенной вероятностью:

где Δх - абсолютная ошибка измерений. Этот диапазон называют доверительным интервалом с соответствующей надежностью . Абсолютную ошибку измерений определяют как разницу между истинным и измеренным значением определяемой величины. Но, так как истинное значение не известно, то существуют разные способы оценки абсолютной погрешности. Для бесконечно большого числа измерений применяют следующие способы (на практике они применяются при условии n 30):

1. в качестве абсолютно погрешности Δх принимают среднеарифметическую погрешность :

где - средняя величина n измеренных значений искомой величины;

- величина каждого измерения;

2. в качестве абсолютной погрешности принимают среднеквадратичную погрешность σ:

3) в качестве абсолютной погрешности Δх принимают вероятную погрешность η:

Для нахождения вероятной погрешности η все экспериментально оп­ределенные погрешности Δх_i взятые по модулю, записывают в ряд по мере их возрастания и в качестве вероятной погрешности берут ошибку, приходящуюся на средину ряда.

Для ρ, σ и η существуют теоретические соотношения:

Все абсолютные погрешности разделяют на две большие группы:

1. Систематические погрешности. Систематическими называют по­грешности, величина и знак которых не изменяются при повторении измере­ний.

2. Случайные погрешности. Случайными называются погрешности, величина и знак которых изменяются при повторении измерений.

Несмотря на хаотичность случайных погрешностей, их значения под­чиняются определенным закономерностям. Изучить эти закономерности можно на примере математического маятника. Делается это следующим образом. По значениям периодов колебаний вычисляются абсолютные погрешности отдельно взятых измерений . Для изучения закономерностей распределения случайных погрешностей на оснований экспериментальных данных строится гистограмма.

Выбирается система координат ΔT0ΔN,причем ось ΔТ строится как в положительном, так и в отрицательном направлении. Ось ΔT разбивается на отрезки равной длины, т.е. с одинаковым шагом. В качестве размера шага, как правило, выбирается половина разряда первой значащей цифры границы доверительного интервала, рассчитанного по формуле (2). Ось ΔN имеет единичный отрезок, равный 1. По этой оси откладывается количество значений погрешностей, которые попадают в каждый выбранный интервал на оси Δ Т.

Интервалы значений по оси ΔТ выбираются равными величине разряда первой значащей цифры границы доверительного интервала, рассчитанного по формуле (2). Первый интервал выбирается симметрично относительно оси ΔN. Пример построенной гистограммы приведен на рис. 1.

Рисунок 1. Гистограмма.

Если шаг по оси ΔT устремить к нулю, все прямоугольники превратятся в вертикальные линии, а верхние концы этих линий сформируют плавную колоколообразную линию. После построения гистограммы на ней проводится плавная кривая, огибающая вершины прямоугольников, как показано на рисунке.

Аналитически появление случайных ошибок описывается законом нормального распределения Гаусса:

где f(Δx_i) – плотность вероятности появления ошибки Δx_i, рассчитываемая по формуле:

Если по оси Y откладывать не значения ΔN, а выражение , то получим кривую, которая называется графиком распределения Гаусса. На рис. 2 показаны графики распределения Гаусса с разной дисперсией.

Рисунок 2.

Анализируя функцию распределения Гаусса и гистограмму на рисунках 1, 2, можно установить основные закономерности распределения случайных погрешностей в зависимости от их величины:

1. При большом числе измерений случайные ошибки принимают непрерывный ряд значений. Это подтверждает сплошная линия на рис. 1.

2. Ошибки, одинаковые по величине, но разного знака встречаются одинаково часто. Из гистограммы рис. 1 видно, что количество ошибок в интервале от 0,005 до 0,015 на положительной ветви оси ΔT равно количеству ошибок в таком же интервале на отрицательной ветви оси ΔТ.

3. Частота появления ошибок уменьшается с увеличением их величины. Из гистограммы рис. 1 видно, что высота прямоугольников убывает вдоль оси АТ как в положительную, так и в отрицательную сторону.

Функция распределения случайных погрешностей Гаусса (6) позволяет установить физический смысл понятия «доверительная вероятность» или «надежность».

Если в соответствии с данными рис. 1 доверительный интервал выберем от -0,02 до 0,02, то доверительная вероятность вычисляется путем интегрирования функции (4) в пределах выбранного интервала погрешностей:

Тогда ответ можно будет представить в виде:

Если интервал взять «шире» - от -0,05 до 0,05, то доверительная вероятность, посчитанная по формуле (8), возрастет. Это и понятно: чем шире доверительный интервал, тем вероятнее истинное значение периода колебаний попадет в этот интервал. Если интеграл (8) посчитать в пределах от - ∞ до + ∞, то получим цифру 1. Это означает, истинное значение периода колебаний абсолютно достоверно попадет в интервал от - ∞ до + ∞. Равенство интеграла (8) единице называется условием нормировки вероятностей.

Функция распределения Гаусса в виде, представленном формулой (4), применима на бесконечно малом интервале δТ. В этой работе интервалы ΔT нельзя считать бесконечно малыми, поэтому следует вести речь о дискретных значениях функции распределения Гаусса определенных для границ рассматриваемых интервалов.

Приравняем выражения (4) и (5):

Выразим ΔN и перейдем к дискретным значениям:

где Δх - величина интервала; ΔТ- граница интервала.

Систематические погрешности смешают гистограмму вправо или влево по оси ΔТ, не искажая характер распределения случайных погрешностей.