7. Основные понятия и операции формальной логи¬ки. Законы логики. Логические переменные. Логиче¬ские выражения и их преобразования. Построение таб¬лиц истинности логических выражений.

Основные понятия и операции алгебры логики

Формальной логикой принято называть античную логику, основанную Аристотелем. Это название происходит от основного принципа логики как науки, который гласит, что правильность рассуждения (умозаключения) определяется только его логической формой, или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений.

Логика изучает формы мышления с точки зрения их структуры, законы и правила получения некоторого знания. Формами мышления являются: понятие, суждение, умозаключение.

Понятие — форма мышления, отражающая существенные свойства предмета или класса однородных предметов. Характеризуется содержанием и объемом. Содержание понятия — те признаки предмета, которые позволяют отличить предмет от всех остальных. Объем понятия — множество предметов, каждому из которых принадлежат эти признаки.

Суждение — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о наличии предмета, его свойствах и действиях. Характеризуется содержанием и формой. Содержанием суждения является его смысл. Форма — способ построения. Суждения бывают истинными и ложными.

Умозаключение — форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение (вывод, или заключение).

В своем развитии логика прошла ряд этапов. Современную логику называют математической. Алгебра высказываний (алгебра логики) — раздел математической логики.

Алгебра логики возникла в середине XIX века в трудах Джорджа Буля. Создание алгебры логики представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Учение о высказываниях, называемое алгеброй высказываний (алгеброй логики), является первой из формальных логических теорий. Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики имеет приложения при синтезе релейно-контактных и электронных схем. В этой теории отвлекаются от содержания высказывания, а рассматривают только то его свойство, что оно представляет собой или истину, или ложь. Тогда высказывание можно рассматривать как величину, которая может принимать два значения: «истина» и «ложь». Высказывания обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, D ..., а их значения «Истина» или «Ложь» можно записывать как TRUE и FALSE, или Т и F, или 1 и 0, или И и Л.

Примеры высказываний:

«Луна — спутник Земли».

«Все числа — целые».

Над высказываниями в алгебре логики определяются следующие основные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания:

Логическое отрицание (инверсия) — это логическая операция, применяемая к одному высказыванию. Высказывание А есть высказывание, которое ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно. Высказывание называется отрицанием А.

Возможные обозначения отрицания: ¬A, not А, не А.

Логическое умножение (конъюнкция) — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Возможные обозначения конъюнкции: A И В, А & В, A AND В, А·В, А U В, АВ.

Логическое сложение (дизъюнкция) — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний.

Возможные обозначения дизъюнкции: А ИЛИ В, A U В, A OR В, А + В, А || В.

Логическое следование (импликация) — это высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Возможные обозначения импликации: А®В, А => В.

Эквивалентность — это высказывание истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны или оба ложны.

Возможные обозначения эквивалентности: А ~ В, А U В.

Всякое сложное высказывание, составленное из некоторых исходных высказываний посредством логических операций, будем называть логическим выражением. Его также называют формулой алгебры логики.

Исходные высказывания могут быть логическими константами (если имеют постоянное значение «истина» или «ложь») или логическими переменными.

Переменные высказывания — это такие переменные, значениями которых могут быть любые наперед заданные простые высказывания — константы.

Логические операции позволяют каждой формуле при заданных значениях входящих в нее высказываний приписать одно из двух значений: 0 или 1. Тем самым каждая формула может рассматриваться как некоторый способ задания или реализации функции алгебры логики. Логическая функция — это функция, определенная на множестве значений (истина, ложь) и принимающая значение из того же множества. Например: F1 = А&В, F2 = AUB.

Функцию можно задавать как в виде формулы, так и в виде таблицы, которая содержит все наборы значений переменных и значения функции на этих наборах. Такую таблицу называют таблицей истинности.