1. Аксиомы стереометрии (А1, А2, А3)

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей

2. Теоремы о способах задания плоскости

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна

3. Теоремы о параллельных прямых (п.4)

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.

4. Параллельность трех прямых

а) Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

б) О параллельности двух прямых третьей (доказательство)

Если каждая из двух прямых параллельна одной и той же третьей прямой, то они параллельны и между собой.

Доказательство:

Пусть AB II MN и CD II MN . Если бы AB и CD были не параллельны, то они пересекались бы в некоторой точке O, через которую были бы проведены две прямые (AB и CD), параллельные MN, что противоречит аксиоме о параллельных прямых. AB и CD не могут иметь общей точки, следовательно AB II CD.

5. Параллельность прямой и плоскости (п.6)

а) Определение

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

б) Теорема(признак) с доказательством

Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости

Доказательство Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

6. Скрещивающиеся прямые (п.7)

А) Определение

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

б) Признак скрещивающихся прямых (доказательство)

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.  

Свойство скрещивающихся прямых. Пусть даны две скрещивающиеся прямые, тогда через каждую из них проходит единственная плоскость параллелная другой прямой.

Пусть  a и b скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку Апрямой а проведем прямую спараллельную прямой b. Пересекающиеся прямые a и b задают единственную искомую плоскость.

в) Теорема о скрещивающихся прямых

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

7. Углы с сонаправленными сторонами

а) Определение

Два луча не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей.

б Теорема об углах с сонаправленными сторонами (п.8)

Если стороны двух углов соответветственно сонаправлены, то такие углы равны.

в) Угол между прямыми (п.9)

8. Параллельные плоскости

а) Определение

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются

б) Признак параллельности плоскостей (доказательство)

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть   и   — данные плоскости, а₁ и a₂ — прямые в плоскости  , пересекающиеся в точке А, b₁, и b₂ — соответственно параллельные им прямые в плоскости   (рис. 329). Допустим, что плоскости   и   не параллельны, т. е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме 16.3

прямые а₁ и a₂, как параллельные прямым b₁, и b₂, параллельны плоскости  , и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости   через точку А проходят две прямые (а₁ и a₂), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.