ММ-3. ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЧИСЛЕНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЫКНОВЕННЫХ И ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ММ-3. Ключевые слова и понятия

3.1. Системы элементов

3.2. Линейная комбинация элементов данной системы.

3.3. Линейная оболочка системы элементов.

3.4. Линейная независимость элементов конечной системы

3.5. Линейная независимость элементов бесконечной системы

3.6. Линейная зависимость элементов

3.7. Подпространство .

3.8 Подпространство метрического пространства.

3.9. Подпространство линейного пространства.

3.10. Подпространство полного линейного метрического пространства

3.11. Подпространство нормированного пространства

3.12. Размерность

3.13. Базис.конечномерного пространства.

3.14. Базис.бесконечномерного пространства.

3.15. Ортогональная система элементов.

3.16. Ортогональная система элементов, полная в евклидовом пространстве

3.17. Проектирование в подпространство.

3.18. Энергетическое произведение.

3.19. Энергетическая норма.

3.20. Энергетическое пространство оператора.

2.1. Входная информация для самопроверки

Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти:

-из курса прикладной математики – разложение вектора по ортам; проектирование вектора на плоскость и ось; скалярное произведение векторов в векторной и линейной алгебре; определённый интеграл;

- из настоящего спецкурса - понятия: пространства, оператора, последовательности, функциональной последовательности, предела, сходимости.

2.2. Содержание темы

2.2.1.Структурно-логическая схема содержания темы

2 .2.2. Тематическое содержание

При разработке численных методов возникает необходимость выразить какой-либо элемент некотрого пространства, искомый или заданный, через некоторые заранее выбранные элементы того же пространства. Для последующего использования эти элементы следует упорядочить, например, пронумеровать. В качестве примера можно привести разложение вектора на компоненты (вектор выражен через заранее выбранные элементы, расположенные в определённом порядке – орты ). Эти орты иногда обозначают как нумерованные элементы или . Другим примером может служить разложение функции в функциональный ряд. В этой связи можно упомянуть: степенной ряд , где функцция выражена через заранее выбранные элементы – функции ; тригонометрический ряд , где функция выражена через заранее выбраные элементы – функции 1, , , также принадлежащие . Упорядоченная совокупность таких заранее выбранных элементов некоторого пространства называют системой элементов этого пространства.

3.1. Система элементов (Адрес файла Блок 4______)

Системой элементов линейного пространства называется множество его упорядоченных (например, пронумерованных) элементов.

Вернитесь к тексту

Систему элементов (3.1) иногда обозначают .

Такую приближённую замену одного элемента другим называют аппроксимацией.

Здесь мы будем рассматриватьтолько один вариант аппроксимации – линейную аппроксимацию, или аппроксимацию при помощи линейной комбинации заданных элементов (3.2) линейного пространства (так как такая аппроксимация предусматривает умножение элементов на число и их сложение).

При изменении чисел изменяется линейная комбинация. Перебирая всевозможные сочетания этих чисел, мы получим множество линейных комбинаций элементов . Так можно прийти к понятию множества всех линейных комбинаций этих элементов (их бесконечно много).

Говорят, что линейная оболочка порождена элементами .

Линейная оболочка (3.3) является также линейным пространством, так как каждая линейная комбинация вместе с порождающими оболочку элементами принадлежит ей.

Возможны случаи, когда требуется установить, является ли линейно независимой бесконечная система (3.5) элементов.(например, в пространстве ).

Обычно приближённое решение выбирается не из всех элементов пространства, а из некоторого их подмножества. Это подмножество должно быть пространством, одноимённым данному (метрическим, линейным, нормированным, и т.д.). В наиболее важных случаях, когда процесс решения должен порождать последовательности приближённых решений, оно должно содержать в себе пределы всех сходящихся последовательностей своих элементов. Эти подмножества называются подпространствами (3.7).

3.7. Подпространство (Адрес файла Блок 4____)

Подпространством в называется линейная оболочка любой системы векторов .

Вернитесь к тексту

3.9. Подпространство линейного пространства (Адрес файла Блок 4-----)

Подпространством линейного пространства называется любое его непустое подмножество, если само оно является линейным пространством (то-есть, если любая линейная комбинация любых его элементов принадлежит тому же подмножеству).

Вернитесь к тексту