ММ-1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ И ПРОБЛЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИХ РЕШЕНИИ. ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ММ-1. Ключевые слова и понятия
1.1. Конечное множество
1.2. Бесконечное множество
1.3. Счётное множество
1.4. Несчётное множество
1.5. Дискретное множество
1.6. Пространство
1.7. Функция
1.8. Функционал
1.9. Оператор
1.1. Входная информация для самопроверки
Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти:
- из курса прикладной математики – понятия: линейной алгебры, векторной алгебры, последовательности, предела, производной, неопределённого интеграла, определённого интеграла, функционального ряда, ряда по ортогональной системе функций, дифференциальных уравнений;
- из курсов сопротивления материалов и строительной механики – механические свойства материалов; дифференциальные уравнения растяжения и изгиба стержня и пластины; вариационные принципы; вариационные методы; основные понятия устойчивости систем; основные понятия динамики систем; канонические системы уравнений; матрица податливости; матрица жёсткости.
1.2. Содержание темы
1.2.1. Структурно – логическая схема содержания темы
1.2.2. Тематическое содержание
1.2.2.1. Основные задачи строительной механики и проблемы, возникающие при их решении
Для описания процессов, происходящих в природе, конструкциях, машинах, механизмах или приборах, используется язык математики. Во – первых, он позволяет точно, определённо, лаконично и однозначно описать существенные черты этих процессов и задачи, которые должен решать инженер; во – вторых, в отличие от других языков, он содержит в себе методы решения этих задач.
Такие описания называются «математическими моделями» изучаемых процессов. Они всегда приближённы (неполностью адекватны изучаемым явлениям). Это объясняется сложностью и недостаточной изученностью изучаемых объектов и протекающих в них процессов, их стохастичностью, требованием разрешимости получаемых при моделировании математических задач, необходимостью соразмерять сроки, трудоёмкость и стоимость исследования с потребностями исследуемой технической области. Это обстоятельство следует иметь в виду, решая вопрос о выборе методов решения математических задач, возникающих при моделировании. Во всех практически важных случаях математическая задача либо не имеет точного решения, либо это решение неизвестно, либо оно неоправданно сложно. Неполная адекватность модели, а также наличие других источников погрешности, делает применение приближённых методов вполне допустимым и даже целесообразным. Приближённые методы, ориентированные на получение результатов в численном виде (обычно при помощи компьютеров) называют численными методами.
Рассмотрим вкратце, как это происходит, на примере задач, возникающих в работе инженеров, которым приходится оценивать прочность конструкций. Теоретической основой расчётов конструкций на прочность, жёсткость и колебания является строительная механика в широком смысле этого слова: сопротивление материалов, строительная механика в узком смысле, механика деформируемого твёрдого тела. Какие математические модели используют эти науки?
1. Квазистатическое (при пренебрежимо малых ускорениях) деформирование стержневых конструкций описывается краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений или их систем.
2. Квазистатическое деформирование плит, оболочек и массивов описывается краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных и их систем.
3. Задачи деформирования стержневых систем описываются векторно-матричными уравнениями, их колебания и некоторые задачи их устойчивости в математическом отношении являются задачами на собственные значения матриц.
4. Многие задачи устойчивости стержневых конструкций, плит и оболочек в математическом отношении являются задачами на собственные значения этих краевых задач
5. Динамика таких конструкций описывается начально-краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных или их систем, в том числе – проблемой собственных значений для этих задач.
6. Длительное деформирование конструкций и систем (с учётом ползучести материала) описывается начально-краевой задачей для системы интегро-дифференциальных уравнений.
7. В других областях инженерной деятельности возникают проблемы, связанные с необходимостью учёта стохастичности свойств конструкций, а также нагрузок и воздействий на них.
При выполнении сложных расчётов возникает ряд проблем. Рассмотрим четыре класса таких проблем.
1. Большая часть величин, с которыми приходится иметь дело при разработке или выполнении расчёта, являются действительными числами, то есть, могут оказаться бесконечными дробями. Возникает противоречие между необходимостью задавать числа бесконечными дробями и возможностью записывать числа только с конечным количеством цифр. Оно преодолевается «округлением» чисел, участвующих в расчёте.
2. Всякая конструкция заполняет некоторую пространственную область, содержащую бесконечно много точек, следовательно, она имеет бесконечно много степеней свободы. Для полного описания состояния конструкции нужно в каждой из этих точек задать перемещения, деформации и усилия, то есть, задать бесконечно много чисел. Таким образом, состояние описывается функциями точки (функциями координат). Законы природы и вытекающие из них законы поведения конструкций или технических устройств могут включать не только сами эти функции, но и их производные или интегралы по координатам и времени, что приводит к использованию дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений или их систем. Возникает противоречие между потребностью задать бесконечно много чисел и возможностью задать и обработать ограниченное их количество и связанное с ним противоречие между необходимостью решать уравнения указанных типов (вернее, краевые или начально-краевые задачи для них) и отсутствием замкнутых решений для более или менее сложных практически важных случаев. Эти противоречия преодолеваются приближёнными приёмами, которые называются дискретизацией (либо области, на которой задана задача, либо множества функций, используемых для описания некоторых исходных данных и решения). Дискретизация должна сопровождаться аппроксимацией точного решения либо на дискретной области, либо при помощи выбранного нами ограниченного набора функций.
3. Малая часть математических задач, встречающихся при выполнении инженерных расчётов, может быть выполнена за конечное число шагов по окончательным формулам. Примером такого расчёта, выполнимого за конечное число шагов, является решение систем линейных алгебраических уравнений. Оно может быть выполнено за конечное число шагов, например, методом Гаусса. В то же время для строительных материалов (бетон, железобетон, древесина, современные марки стали) характерна нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями; при увеличении деформаций (возможное в тонкостенных конструкциях) становится заметной их нелинейная зависимость от перемещений; при больших перемещениях уравнения равновесия также становятся нелинейными (их коэффициенты всё сильнее зависят от перемещений). Таким образом, возникает задача решения нелинейных функциональных, дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений или их систем. Точнее говоря, инженера обычно интересует не общее решение дифференциального уравнения, а частное решение, соответствующее конкретным краевым или начально-краевым условиям, то – есть, его интересует решение краевой или начально-краевой задачи. Для таких задач в практически интересных случаях, как правило, отсутствует решение, описываемое замкнутыми формулами и осуществляемое за конечное число шагов. В этом случае применяется большая группа приближённых методов, которые объединены под названием «методы линеаризации».
4. При изучении явлений колебаний и потери устойчивости деформирования конструкций и их систем возникает задача определения тех значений параметров, при которых задача имеет ненулевые решения (в последнем случае исследование может не ограничиться этой задачей). В практически важных более или менее сложных случаях также решить эту задачу «точно» (в рамках принятой модели) по каким – то конечным формулам или за конечное число шагов невозможно. Эта проблема, называемая «проблемой собственных значений (матрицы, дифференциального оператора или краевой задачи)», также преодолевается при помощи специальной группы приближённых методов, называемых методами определения собственных значений и собственных элементов (векторов, функций) матрицы или дифференциального оператора (иногда в последнем случае говорят «методы определения собственных значений и собственных функций краевой задачи»).