Формулы приближенного дифференцирования , основанные на интерполяционных формулах Ньютона.

Пусть имеем функцию f(x) , заданную в равноотстоящих точках x_i отрезка [a,b] с помощью значений y_i=f(x_i) .

x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y	∆5y
X1	Y0	∆y0	∆2y0	∆3y0	∆3y0	∆3y0
X2	Y1	∆y1	∆2y1	∆3y1	∆3y0
X3	Y2	∆y2	∆2y2	∆3y2
X4	Y3	∆y3	∆2y3
X5	Y4	∆y4
X6	Y5

Для нахождения на [a,b] производных y=f (x) , y= f (x) функцию f(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона P(x) , построенным для системы узлов x₀,x₁,…..x_n .

Имеем :

При этом , где i=0……n

Раскрыв скобки и вспомнив правило

Аналогично:

В качестве х₀ следует выбирать значения ближайшие к табличным.

Иногда требуется находить производные функции y(x) в основных табличных точках x_i . В этом случае q=0 .

Тогда имеем:

Как уже было показано :

Если R_к(x) = y(x) - P(x) - погрешность интерполирующего полинома ,

То R_к(x) = y(x) - P(x) - погрешность производной есть производная от погрешностей .

Как известно ,

•  [a,b] - промежуточное значение между x₀,x₁,…..x_n

Проведя промежуточные выкладки и сделав предположения об ограниченности частных производных , при x=x₀ и q=0

Тогда имеем :

Аналогично может быть найдена погрешность для второй производной.

Результат при использовании второго интерполирующего полинома Ньютона :

Основной недостаток полинома Ньютона – необходимость вычислять конечные разности различных порядков.

Кроме того, для интерполирования вначале таблицы мы вынуждены пользоваться первой формулой Ньютона с интерполированием вперед, в конце таблицы – второй формулой Ньютона с интерполированием назад, что также не позволяет признать этот выбор удачным.

Более того, доказано, что использование конечных разностей высших порядков приводит к быстрому возрастанию результирующей погрешности из-за ошибок округления при их вычислении.

Большую точность имеют симметрические формулы , которые учитывают точки как при x > x₀ так и при x < x₀ .

Использование центральной формулы Стирлинга

Пусть - равноотстоящие точки

Используя полином Стирлинга , имеем :

Видно , что ограничиваясь только первым слагаемым , получаем знакомую формулу для центральных разностей.