§2. Поверхности 2-го порядка.
Рассмотрим поверхности, которые в некоторой подходящей прямоугольной декартовой системе координат определяются уравнениями вида:
; |
(2.1) |
; |
(2.2) |
; |
(2.3) |
; |
(2.4) |
; |
(2.5) |
; |
(2.6) |
; |
(2.7) |
; |
(2.8) |
. |
(2.9) |
|
|
Рис.
2.1. Эллипсоид
Поверхность, задаваемая уравнением (2.1), называется эллипсоидом (рис. 2.1),
уравнением (2.2) – однополостным гиперболоидом (рис. 2.2), уравнением (2.3) – двухполостным гиперболоидом (рис. 2.3), уравнением (2.4) – конусом 2-го порядка (рис. 2.4), уравнением (2.5) – эллиптическим параболоидом (рис. 2.5), уравнением (2.6) – гиперболическим параболоидом (рис. 2.6). Уравнения (2.7) – (2.9) задают в пространстве цилиндры, называемые эллиптическим, гиперболическим и параболическим цилиндрами (рис. 2.7 – 2.9).
Рис. 2.2. Однополостный гиперболоид |
Рис. 2.3. Двуполостный гиперболоид |
Рис. 2.4. Конус 2-го Порядка |
||||
Рис. 2.5. Эллиптический параболоид |
Рис. 2.6. Гиперболический параболоид |
|||||
Рис. 2.7. Эллиптический цилиндр |
Рис. 2.8. Гиперболический цилиндр |
Рис. 2.9. Параболический цилиндр |
|
Форма и некоторые свойства поверхностей, изображённых на рисунках
(2.1) – (2.9), вытекающие из их уравнений, изучаются с помощью метода параллельных сечений. При этом рассматривают сечения данной поверхности координатными плоскостями или плоскостями, параллельными им. Например, в сечении плоскостью однополостного гиперболоида, определяемого уравнением (2.2), получаем так называемый горловой эллипс с полуосями a и b (рис. 2.2), а в сечении координатными плоскостями и – гиперболы и (рис. 2.2). Аналогичным образом может быть изучена форма и других поверхностей 2-го порядка (см. Математика, опорный конспект, выпуск 1).
Пример 2.1. Установить тип поверхности, заданной уравнением и изобразить её на рисунке.
►Сравнив данное уравнение с каждым с уравнений (2.1) – (2.9), заключаем, что данное уравнение получается из уравнения (2.2) при Следовательно, оно определяет однополостный гиперболоид. В сечении плоскостью однополостного гиперболоида, определяемого уравнением (2.2), получаем горловой эллипс с полуосями и , а в сечении координатными плоскостями и – гиперболы и . Построив линии Г1, Г2, Г3 в соответствующих координатных плоскостях, получаем изображение данной поверхности (рис. 2.2).◄
Пример 2.2. Изобразить тело, ограниченное плоскостями x + y = 2, x = 0, y = 0, z = 0, и цилиндром .
Рис.
2.10. К примеру 2.2
Пример 2.3. Изобразить тело, ограниченное сферой и круговым параболоидом и находящееся внутри параболоида.
►В
уравнении сферы выделим полный квадрат
из членов, содержащих у,
получим:
или
.
Таким образом, заключаем, что центр
сферы находится на оси Оу
в точке (0,
2), а радиус её равен 2 (рис. 2.11). Линией
пересечения параболоида
с плоскостью Oyz
служит
парабола, расположенная в этой плоскости
и определяемая уравнением:
(рис. 2.11). Сечениями этой поверхности
плоскостью, перпендикулярной оси Oy,
являются окр
Рис.
2.11. К примеру 2.2