2.3. Критерии усвоения
После изучения содержания данной темы Вы должны:
з
нать
для чего применяются понятия «расстояние» и «норма» в прикладном анализе;
что такое «предел последовательности»;
что такое «сходимость в среднем» и «равномерная сходимость» и когда применяется каждое из них;
что такое «фундаментальная последовательность»;
какое пространство называется полным;
какое множество называется замкнутым;
как определяется скалярное произведение;
понимать
смысл понятий «расстояние» и «норма»;
почему норма задаётся только в линейном пространстве;
смысл понятия «предел последовательности»;
почему в различных ситуациях необходимо контролировать либо сходимость в среднем, либо сходимость равномерную;
почему нормированное пространство одновременно является метрическим, а евклидово – нормированным.
Уметь
Находить расстояния различных типов между векторами и функциями.
2.4. Выход темы в другие темы и дисциплины
Данная тема имеет выход в дипломные, магистерские и диссертационные работы.
2.5. Тест - контроль для самопроверки
2.1. Что такое расстояние между элементами пространства?
А. Число, задаваемое формулой (2.1).
Б. Число, задаваемое формулой (2.4).
В. Число, задаваемое формулой (2.6).
Г. Число, правило определения которого обеспечивает выполнение аксиом расстояния
2.2. Что такое метрическое пространство?
А. Множество,на котором введена метрика.
Б. Пространство, на котором расстояние определяется по формуле (2.4).
В. Пространство, на котором определены сложение и умножение на число.
Г. Полное метрическое пространство.
2.3. По какой формуле определяется расстояние между векторами при контроле покоординатной сходимости?
А. .
Б. .
В.
.
Г.
.
2.4. По какой формуле определяется расстояние между векторами при контроле сходимости в среднем?
А. .
Б. .
В. .
Г. .
2.5. . По какой формуле определяется расстояние между функциями при контроле сходимости в среднем?
А. ,
Б. .
В. .
Г. .
2.6. . По какой формуле определяется расстояние между функциями при контроле равномерной сходимости?
А. .
Б.
В. .
Г.
.
2.7. Что называется полным пространством?
А. Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.
Б. Пространство, в котором задана норма.
В.Пространство, которому принадлежат пределы всех сходящихся последовательностей его элементов.
Г. Пространство, на котором задано скалярное произведение.
2.8. Что называется скалярным произведением элементов пространства?
А. Норма их разности.
Б. Расстояние между ними.
В. Число, правила определения которого обеспечивают выполнение следующих требований:
а) симметрии (коммутативности) ;
б) дистрибутивности ;
в) однородности , где - действительное число;
г) определённости .
Г. Произведение их пределов.
2.9. Что называется банаховым пространством?
А. Полное метрическое пространство.
Б. Полное евклидово пространство.
В. Полное нормированное пространство.
Г. Пространство, на котором задано скалярное произведение.
2.10. Что называется гильбертовым пространством?
А. Полное метрическое пространство.
Б. Полное евклидово пространство.
В. Полное нормированное пространство.
Г. Пространство, на котором задано скалярное произведение.
Ответы на тест-самоконтроль 2.5 (адрес файла Блок 3 -----)
2.1. «Г» - число, правила определения которого обеспечивают выполнение аксиом расстояния.
2.2. «А» - Множество, на котором введена метрика.
2.3. «В» - .
2.4. «Б» - .
2.5. «А» - .
2.6. «А» - .
2.7. «А» - Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность имеет предел.
2.8. «В» - Число, правила определения которог обеспечивают выполнение требований:
симметрии (коммутативности) ;
дистрибутивности ;
однородности ;
определённости .
2.9. «В» - Полное нормированное пространство.
2.10. «Б» - Полное евклидово пространство.
.
