5. Проверка основной гипотезы о нормальности распределения

1. Алгебраические критерии «согласия»:

, (2)

где ; – асимметрия,

; – эксцесс,

; -дисперсия ассиметрии, . – дисперсия эксцесса.

При выполнении критериев (2) закон распределения выборки принимается нормальным.

2. Графический критерий «согласия»

В данном критерии теоретический закон стандартного нормального распределения

F₀ (z) = F₀ (0) + Ф(z) = 0,5 + Ф(z),

где – интеграл Лапласа / таблица 1/

сравнивается с экспериментальным законом распределения (статистической функцией распределения F_n (x))

или ,

т.е. F₀ (z) = F_n (x),

0,5 + Ф(z) = F_n (x),

Ф(z)=F_n(x) - 0,5. (3)

а) Строится таблица

*xj	Fn(xj)	Ф(zj)	zj
Данные из таблиц п.4,а		расчет по ф.(3)	находится по /1,таблице I/

Примечание^*: для интервального вариационного ряда в качестве вариант ^*x_j берутся середины интервалов ( x¹_i-1 ÷ x_i¹),

. (4)

б) Строится график z_j = f(x_j) в масштабе z_j : x_j = 5:8. Если точки ( z_j; x_j) на графике располагаются вдоль одной прямой, то гипотеза о нормальном законе распределения выборки принимается.

3. Графический критерий согласия на основе эмпирического распределения

На графике статистической функции распределения эмпирической функции F_n(x_j) (кумулятивных кривых, смотри пункт 4(б)) строится график функции нормального распределения (теоретическая функция)

, (5)

где – функция Лапласа находится по /1, таблице I/ в соответствии с аргументом .

Расчетные данные необходимо свести в таблицу:

Таблица

*xj			F(xj)

Примечание^*: для интервального вариационного ряда в качестве вариант ^*x_j берутся середины интервалов (см. формула (4)).

Расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения оценивается на глаз. Если оно невелико, то можно принять основную гипотезу.

4. Критерий согласия Колмогорова.

Для надежной количественной оценки основной гипотезы используется критерий согласия Колмогорова:

, (6)

где ,

, (7)

n – объем выборки,

F_n(x) – статистическая функция распределения, берется из таблицы пункта 5.2(а);

F(x) – теоретическая функция распределения, берется из таблицы пункта 5.3;

– квантиль Колмогорова, находится из таблицы 8.

Таблица квантилей распределения

Колмогорова

q		q
0,3	0,97	0,1	1,22
0,25	1,02	0,05	1,36
0,2	1,07	0,02	1,52
0,15	1,14	0,01	1,63

Если критерий (6) выполняется, то основная гипотеза отклоняется (или считается сомнительной). В критерии согласия (6) берутся очень «жесткие» уровни значимости q = 0,2 или q = 0,3.

Для выполнения пунктов 5.4. составляется таблица:

*xj	Fn(xj)				D

Примечание^*: для интервального вариационного ряда в качестве вариант ^*x_j берутся середины интервалов (см. формула (4)).