Сложные суждения.

Мы уже отмечали, что сложными называются суждения, образованные из двух или более простых суждений, соединенных логическими связками. Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания.

Рассмотрим основные виды сложных суждений.

Соединительные суждения представляют собой связку двух или более простых суждений с помощью логического союза «конъюнкции». Например, «на улице холодно (а) и идет дождь(в)» : (а  в).

Разделительное суждение – это связь двух или более простых суждений с помощью логических связок «слабой и сильной дизъюнкции». При «слабой дизъюнкции» союз «или» рассматривается как соединительно-разделительный союз и выраженные в суждении признаки не исключают друг друга, а могут одновременно принадлежать одному и тому же предмету. Например, «Я пойду в булочную за белым (а) или черным (в) хлебом» (а  в). При сильной или строгой дизъюнкции союз «или (либо)» употребляется как разделительный. Выраженные признаки в сильной дизъюнкции исключают друг друга. Например, «Я поеду на юг на поезде (а) или полечу на самолете(в)» (а  в ).

Условные (импликативные) суждения – это суждения, образованные из двух простых суждений , выражающих причинно-следственную связь явлений. Первое предложение (антецедент или основание) фиксирует причину, второе (консеквент или следствие) – следствие этой причины. Например, «Если Солнце взошло (а), то на улице стало светло (в)» ( а  в).

Для более строгого определения условного суждения следует охарактеризовать необходимые и достаточные условия. Условие называется необходимым для данного события, если при его отсутствии это событие не наступает. Например, наличие атмосферы на Земле является необходимым условием для возникновения на Земле разных видов высокоорганизованных животных, то есть без атмосферы жизнь на Земле не могла бы возникнуть. Условие называется достаточным для данного события, если всякий раз, когда имеется это условие, событие происходит. Например, выпадение дождя является достаточным условием для того, чтобы крыши домов были мокрыми.

Условия могут быть достаточными, но не необходимыми; необходимыми, но не достаточными; необходимыми и достаточными. Условным называется суждение, в котором ситуация, описываемая основанием, является достаточным условием для ситуации, описываемой следствием.

Эквивалентное суждение - это суждение, образованное из двух простых суждений с помощью логического союза «если, и только если…, то». Например, «Если и только если Солнце находится в зените (а), то тени от него являются самыми короткими (в)» (а  в). Может рассматриваться как условное суждение, если событие, описываемое основанием, является достаточным и необходимым условием для события, описываемого следствием.

Отрицательное суждение – это суждение, в котором утверждается отсутствие некоторой ситуации. Оно чаще всего выражается предложением, начинающимся словосочетанием «неверно, что» или «не». Например, «Неверно, что идет снег» ( ).

От того, при помощи какого союза связываются простые суждения, зависит логическая особенность сложного суждения. При анализе сложного суждения можно полностью отвлекаться от внутренней структуры исходных суждений. Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью символов, о которых мы уже говорили в первой лекции, означает формализацию высказывания, которая во многих случаях оказывается полезной.

Сложные суждения – это тоже мысль, которая что-то утверждает или отрицает и которая, поэтому, оказывается истинной или ложной. Вопрос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики – на него отвечают конкретные науки, повседневная практика или наблюдение. Истинно или ложно суждение «Киты – млекопитающие»? Нужно спросить биолога и он скажет нам, что это суждение истинно. Вопрос об истинности простых суждений решается обращением к реальности, к которой относится наше суждение.

Но как установить истинность или ложность сложного суждения? Этот вопрос решает логика. Мы договариваемся или принимаем соглашения относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой будем считать истинными, а когда – ложными.

Соглашения, о которых идет речь, выражаются таблицами истинности для логических связок, показывающими, в каких случаях высказывание с той или иной связкой истинно, а в каких случаях мы будем считать его ложным. При этом мы опираемся на истинность или ложность простых суждений, являющихся частыми сложного суждения. «Истина» («и») и «ложь» («л») называются «истинностными значениями» суждения – если переменная представляет истинное суждение, она принимает значение «истина»; если же представляет ложное суждение, она принимает значение «ложь». Каждая переменная может представлять как истину, так и ложь.

Отрицание применяется к одному суждению. Это суждение может быть истинным или ложным.

А	
И	Л
Л	И

Если исходное суждение истинно, то его отрицание ложно; если же исходное суждение ложно, то его отрицание истинно. Так, если суждение «Афины находятся в Греции» – истинно, то его отрицание «Неверно, что Афины находятся в Греции» – ложно.

Приведем таблицу истинности для остальных логических связок:

	А	в	в	ав	ав	ав	ав
1.	И	и	И	и	л	т	И
2.	И	л	Л	и	и	л	л
3.	Л	и	Л	и	т	и	л
4.	Л	л	Л	л	л	и	и

Конъюнкция истинна только в одном случае – когда оба ее члена истинны. Во всех остальных случаях – она ложна. Смысл конъюнкция – одновременность.

Слабая дизъюнкция истинна во всех случаях, кроме одного – когда оба ее члена ложны. Смысл слабой дизъюнкции – многовариантность.

Сильная (строгая) дизъюнкция истинна, когда один ее член истинен, а другой – ложен и наоборот; ложна, когда обо ее члена истинны или оба ложны. Смысл сильной дизъюнкции – альтернатива.

Эквиваленция истинна, когда ее члены имеют одно и то же значение – либо оба истинны, либо оба ложны. Смысл эквиваленции – взаимозаменяемость.

Сложнее обстоит дело с импликацией . Импликация выражает соотношение причины и следствия таким образом, что причина «а» является достаточным основанием для того, чтобы наступило следствие «в». Импликация истинна во всех случаях, кроме одного – когда из истинного основания пытаются сделать ложное следствие. Кроме того, в формальной логике действует принцип: из лжи следует всё, что угодно, в том числе и истина. Однажды Бертрана Рассела попросили: если ложное допущение позволяет доказывать всё, что угодно, то покажите, что из ложного суждения 5=4 следует, что «Вы – римский папа». Б.Рассел ответил: «Это не трудно! Из 5=4 следует, что 2=1. Папа и я образуем двойку, стало быть – мы – одно и то же». Конечно, ответ Рассела был шуткой. «Всё, что угодно» должно быть ограничено языком той теории, в которой появляется противоречие, в данном случае – арифметикой. Рассуждения же о римском папе к ней (арифметике) не относится. Однако слова Рассела хорошо передают суть дела – в противоречивой системе утрачивается различие между истиной и ложью, следовательно, она ничего не может описать.

«На вопрос, кто из трех студентов изучал логику, был получен ответ:»Если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что, если изучал третий, то изучал и второй». Кто же в действительности изучал логику, если известно, что полученный ответ является истинным?

1-ый изучал логику обозначим за «а», 2-ой изучал логику – за «в», 3-ий изучал логику – «с». В результате получим следующую запись задачи: (а → в )^¬(с→ в). Составим таблицу этого сложного суждения:

а в с : (а → в )^¬(с→ в).

и и и и л л и

и и л и л л и

и л и л л и л

и л л л л л и

л и и и л л и

л и л и л л и

л л и и и и л

л л л и л л и

По результатам этой таблицы ясно видно, что логику изучал лишь третий студент.

В некоторых случаях простые и сложные суждения выражаются в предложениях, начинающихся со слов «Неверно, что» или «Не». Это значит, что отрицается суждение, которое стоит после таких слов. Для прояснения смысла суждений, их следует преобразовать в эквивалентные суждения, перед которыми отрицание не стоит, то есть преобразовать в суждения, где нет внешнего отрицания. Иногда, наоборот, требуется провести отрицание суждения.

1. Провести отрицание простых категорических суждений:

; ; ; .

Можно посмотреть по «логическому квадрату»: отрицание простого категорического суждения эквивалентно его противоречию, противоречивому суждению.

Например, «неверно, что некоторые студенты могут не сдавать экзамены» – это частноотрицательное суждение, его отрицание эквивалентно общеутвердительному суждению «Все студенты должны сдавать экзамены».

2. Отрицание единично-отрицательного суждения эквивалентно единично-утвердительному и наоборот. «Не было дня в этом месяце, когда бы не шел дождь» эквивалентно суждению «Каждый день в этом месяце шел дождь».

3. Отрицание сложных суждений производится согласно следующих формул эквивалентности:

1.  Отрицание конъюнкции эквивалентно

дизъюнкции отрицаний.«Неверно, что

шел дождь и светило солнце». « Или не

шел дождь или не светило солнце».

2. . Отрицание дизъюнкции эквивалентно

конъюнкции отрицаний. «Неверно, что

он или больной или уехал в

командировку».  «Он не больной и не

уехал в командировку».

3.  . Отрицание импликации эквивалентно

конъюнкции первого члена и отрицания

второго члена . «Неверно, что если

деревянный брус нагреть до 100

градусов, то он обуглиться» 

«Деревянный брус нагрели до 100

градусов, но он не обуглился».

4. . Отрицание эквиваленции

эквивалентно дизъюнкции двух конъюнкций «Неверно, что человек не может

работать тогда и только тогда, когда

он больной»  « Или человек

может работать, хотя он и

больной, или он не может работать,

хотя и не больной».

5) . Двойное отрицание некоторого высказывания

эквивалентно самому этому высказыванию. «Неверно,

что он не прав»  «Он прав».

5. Ỳ(Λ)ν ( ¬А Λ¬В). Отрицание сильной дизъюнкции эквивалентно дизъюнкции двух

конъюнкций. Либо, в некоторых работах рассмотрено, что отрицание сильной дизъюнкции эквивалентно эквиваленции этих суждений ¬(AÝB)≡(А≡В)

«Неверно, что на встречу пойдет либо он,

либо другой »  «На встречу пойдет и он и

другой или на встречу не пойдет ни он, ни

другой» либо: « Он пойдет на встречу тогда

и только тогда, когда на нее пойдет другой».

Покажем, как эти отношения эквивалентности между высказываниями могут быть использованы для решения логических задач.

Например, в деле об убийстве имеется двое подозреваемых: Пьер и Жан. Допросили четырех свидетелей. Показание первого свидетеля таково: «Я знаю только, что Пьер не виноват». Второй свидетель сказал: «Я знаю лишь, что Жан не виноват». Третий свидетель: «Я знаю, что из первых двух показаний по меньшей мере одно истинно». Четвертый: «Я знаю, что показания третьего свидетеля ложны». Четвертый свидетель оказался прав. Кто же совершил преступление?

Логика существенно облегчает процесс размышления. Обозначим высказываание «Пьер виноват» через «а»; высказывание «Жан виноват» через «в». Тогда показание первого свидетеля будет «»; показание второго свидетеля « в»; третий свидетель утверждает дизъюнкцию показаний двух свидетелей, то есть « в»; четвертый свидетель утверждает, что эта дизъюнкция ложна, то есть отрицает ее: «в. Нам сказано, что последнее утверждение истинно. Теперь преобразуем его, опираясь на эквивалентности

 в  в   в. Эта конъюнкция истинна, а это значит, что Пьер и Жан вместе совершили преступление.