Динамика Динамика материальной точки

расчет д-33

Описание задания.

Цель расчета — приобретение опыта построения расчетной механической модели по описанию задачи, освоение методики составления дифференциальных уравнений движения материальной точки, знакомство с методами численного исследования уравнений.

Задание

1. Составить систему дифференциальных уравнений движения материальной точки на плоскости ху.

2. Привести полученную систему к безразмерному виду, используя в качестве нормализующих параметров линейный размер L, время T.

3. Записать полученную систему в нормальной форме Коши и при заданных начальных условиях проинтегрировать ее на компьютере численным методом в интервале изменения времени .

4. По результатам интегрирования движения построить траекторию движения точки на плоскости ху, а также график изменения модуля скорости точки . Масштабы для координат скорости и времени указать как в размерных, так и безразмерных переменных.

Исходные данные и допущения.

1. 1. Объект, движение которого изучается, рассматривается как материальная точка массы .

   2. Ускорение силы тяжести во всех задачах принять равным 9.807

   Коэффициент пропорциональности для сил воздействия потока (демпфирующей среды) обозначается как . Его числовые значения приведены в таблице.

2. Начальные координаты точки обозначены как , компоненты начальной скорости — .

3. Символом обозначена скорость потока, в котором движется точка.

4. Числовые данные для каждого варианта приведены в таблице, при этом в зависимости от номера группы начальные условия определяются умножением табличной величины на

Варианты заданий

1. Прибор закреплен на амортизаторах, предохраняющих его от ударных воздействий. Кроме амортизаторов, имеются демпферы, гасящие колебания прибора. Проекции на оси х и у силы воздействия амортизаторов пропорциональны взятым с противоположными знаками координатам прибора (коэффициент пропорциональности с), а демпфирующей силы — взятым с противоположными знаками компонентам скорости.

2. Частицы ионизирующей присадки вводятся в поток плазмы, протекающей по прямолинейному горизонтальному подводящему каналу камеры сгорания. Скорость плазмы постоянна во всех точках и направлена вдоль канала. При движении частица испытывает воздействие плазмы, которое выражается силой, пропорциональной квадрату скорости частицы относительно потока и направленной противоположно этой скорости.

Ось х направить вдоль канала, ось у – вертикально вверх.

3. Воздушный шар, запущенный с поверхности Земли, поднимается в верхние слои атмосферы. Скорость воздуха всюду постоянна и направлена горизонтально. Кривизной поверхности Земли и изменением силы тяжести пренебречь. Ось х направить по горизонтали, ось у — вертикально вверх, начало координат поместить на поверхности Земли.

Учитывая, что плотность воздуха с высотой уменьшается, силу воздействия его на воздушный шар можно представить как , где — величина, пропорциональная скорости воздушного шара относительно воздуха, коэффициент пропор­циональности .

Подъемная сила Q регулируется таким образом, что она не зависит от высоты и направлена вертикально вверх. Ввести обозначение k=aL.

4. Частицы золы движутся в потоке уходящих газов паро­генератора по вертикальной трубе и улавливаются электростатическим дымоуловителем. На каждую частицу действует сила со стороны газового потока, которая пропорциональна квадрату скорости частицы относительно потока газов и на­правлена противоположно этой скорости. Скорость потока считать всюду одинаковой и направленной вдоль оси трубы. Электростатическое поле является однородным, вектор на­пряженности Е направлен по горизонтали. Сила воздействия электростатического поля F пропорциональна его напряжен­ности. Ось х направить вдоль вектора напряженности элек­трического поля, ось у — вдоль оси дымовой трубы.

5. Воздействие воздушной среды на планирующий аппа­рат сводится к подъемной силе и лобовому сопротивлению. Подъемная сила F определяется как сила, перпендикулярная вектору скорости аппарата, а сила лобового сопротивления R—как сила, противоположная вектору скорости. Модули подъемной силы и силы лобового сопротивления пропорцио­нальны квадрату скорости планирующего аппарата, коэффи­циенты пропорциональности—соответственно и .

При составлении уравнений движения кривизной земной поверхности пренебречь, а силу тяжести считать постоянной. Ось х направить по земной поверхности, ось у — вертикально вверх. Принять .

6. Маятник, закрепленный шарнирно в точке О, представляет собой невесомый упругий стержень ОА, длина которого в недеформированном состоянии . В точке А к стержню прикреплен груз массы . Сила, с которой на стержень действует на груз, пропорциональна деформации стержня и направлена к точке подвеса при удлинении стержня и в противоположную сторону при укорочении. Коэффициент пропорциональности с.

Исследовать движение груза в вертикальной плоскости. Начало координат поместить в точку О, ось х направить вертикально вниз, ось у — по горизонтали вправо. Ввести обозначение b=mg/ca.

7. Космический корабль возвращается на Землю. До входа в плотные слои атмосферы можно рассматривать его движение, учитывая только силу притяжения к Земле, которая на­правлена к центру Земли и обратно пропорциональна квадра­ту расстояния от космического корабля до центра Земли. Коэффициент пропорциональности принять равным , где R—радиус Земли. Начало координат поместить в центре Земли. Решение считать справедливым при .

8. Ион, несущий положительный заряд , движется в пря­молинейном рабочем канале магнитогидродинамического ге­нератора. Сила, действующая на ион, вызывается электромаг­нитным полем, у которого Е — вектор напряженности элек­трического поля, В — вектор магнитной индукции. Считать электромагнитное поле однородным и постоянным, т. е. векторы Е и В неизменными, причем вектор Е на­правлен вдоль оси у, а вектор В — вдоль оси z. Ось х совмес­тить с осью рабочего канала. Силой тяжести и воздействием потока плазмы на ион пренебречь. Принять В=5х Тл¹, , где — заряд электрона.

9. Протон движется в постоянном однородном магнитном поле с индукцией В, и нестационарном электрическом поле, вектор напряженности Е которого вращается с угловой ско­ростью = 50 1/с в плоскости ху, перпендикулярной векто­ру В. Заряд протона е = 1,6х Кл. Компоненты вектора Е: , . Ввести обозначение

10. Подводный аппарат имеет отрицательную плавучесть (разность между весом аппарата и архимедовой силой) и движется под действием постоянной горизонтальной силы от работающих винтов, испытывая при этом сопротивление воды. Сила сопротивления воды противоположна вектору скорости аппарата и пропорциональна квадрату скорости.

Ось х направить вдоль поверхности воды, ось у — вертикально вверх.

11. При создании аэрозольной смеси частицы впрыскиваются в поток воздуха. Сила воздействия на частицу потока воздуха пропорциональна квадрату скорости частицы относительно воздуха и направлена противоположно этой скорости. Воздушный поток горизонтален, скорость его во всех точках одинакова.

Ось х направить вдоль вектора , ось у — вертикально вверх.

12. Транспортируемый прибор А подвешен на пружинах таким образом, что при отклонении от положения равновесия (точки 0) на него со стороны пружин будет действовать сила, направленная вдоль прямой АО и пропорциональная квадрату расстояния АО.

Исследовать движение прибора в горизонтальной плоскости, начало координат поместить в точку О.

13. Капля воды движется в потоке водяного пара, ско­рость которого во всех точках одинакова и направлена вдоль оси х. Масса капли за счет конденсации возрастает пропор­ционально ее поверхности, что соответствует изменению во времени , где см. в таблице, , с — интенсивность конденсации, — плотность воды. Воздействие пара на каплю пропорционально скорости капли относительно пара и площади ее поперечного сечения , коэффициент пропорциональности . Действием силы тяжести пренебречь. Конденсацию считать происходящей равномерно по поверхности капли без возникновения реактивной силы.

14. Парашютист, покинув самолет, опускается на поверхность Земли. На него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, пропорциональная квадрату скорости парашютиста и направленная противоположно вектору скорости.

Кривизной поверхности Земли пренебречь, поле сил тяжести считать однородным. Ось х направить вдоль поверхности Земли, ось у — вертикально вверх.

15. Космический аппарат движется в поле притяжения Земли. Сила тяготения направлена к центру Земли, прямо пропорциональна массе космического аппарата и обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли, коэффициент пропорциональности (гравитационная постоянная) а.

Постоянная по модулю сила тяги двигателя F направлена по трансверсали, т. е. перпендикулярно радиусу-вектору, про­веденному из центра Земли. Изменением массы космическо­го аппарата пренебречь. Начало координат поместить в цент­ре Земли.

16. В прямолинейном канале парогенератора, ширина ко­торого 2а, скорость воздушного потока, увлекающих части­цы топлива, определяется как и направлена вдоль оси х: Ось х параллельна стенкам канала и проходит на равном расстоянии от верхней и нижней стенок, ось у направлена вертикально вверх.

Частица топлива испытывает воздействие аэродинамической силы, направление которой противоположно вектору скорости частицы относительно воздушного потока, а величина пропорциональна этой скорости. При вычислениях учесть, что .

17. От поверхности цилиндрического проводника радиуса , по которому протекает электрический ток I, отделяется заряженная отрицательно частица. Сила, действующая на нее в магнитном поле, создаваемом электрическим током, опре­деляется как F = q[v, В], где q — заряд частицы, v вектор ее скорости, — магнитная индукция, — магнитная постоянная, — радиус-вектор, направленный от оси проводника к частице по нормали к проводнику.

Рассмотреть движение частицы в плоскости, проходящей через ось проводника. Ось у совместить с осью проводника. Силой тяжести и сопротивлением среды пренебречь. Принять = 0,1 м. Решение считать справедливым для .

18. Последняя ступень ракеты, поднятая на такую высоту над поверхностью Земли, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, разгоняется реактивным двигателем. Сила реак­тивной тяги совпадает по направлению с вектором скорости ракеты и определяется как , где — первая про­изводная по времени от массы, причем при работе реактив­ного двигателя эта производная является отрицательной ве­личиной, — скорость истечения реактивной струи относи­тельно ракеты. Массу ракеты считать изменяющейся по ли­нейному закону .

Сила притяжения к Земле направлена к центру Земли, пропорциональна массе ракеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли, коэффициент пропор­циональности f.

Начало координат поместить в центре Земли. Принять м/с.

19. Ротор экспериментального стенда представляет собой груз, закрепленный на гибком валу. Вал вращается с постоянной угловой скоростью 1/с вокруг неподвижной горизонтальной оси.

Со стороны вала на груз действуют упругие и демпфиру­ющие силы. Упругие силы пропорциональны взятым с про­тивоположными знаками координатам груза (коэффициент пропорциональности с). Демпфирующие силы (силы внутрен­него трения) пропорциональны взятой с противоположным знаком скорости груза относительно вращающегося вала (ко­эффициент пропорциональности а). Кроме того, со стороны окружающей среды на груз действует сила внешнего трения, пропорциональная взятой с противоположным знаком абсо­лютной скорости груза (коэффициент пропорциональности ).

Рассмотреть движение груза в вертикальной плоскости, ось х направить по горизонтали, ось у — по вертикали, начало координат, выбрать на оси вращения.

20. Моторная лодка движется под действием постоянной по модулю силы F, создаваемой двигателем. Вектор силы тяги F образует с вектором скорости лодки постоянный угол . Сила сопротивления воды пропорциональна квадрату скорости лодки и направлена в сторону, противоположную вектору скорости.

21. В однородном постоянном электростатическом поле, создаваемом плоским конденсатором, движется положительно заряженная частица. При движении она испытывает сопро­тивление среды. Сила сопротивления среды направлена про­тивоположно скорости частицы, а по величине пропорцио­нальна квадрату скорости. Воздействие электростатического поля определяется силой ,. где a — заряд частицы, Е — вектор напряженности поля.

Ось х направить по горизонтали, ось у — вертикально вверх, вектор Е считать параллельным оси у. Кривизной по­верхности Земли пренебречь. Ввести обозначение k = aE/(gm).

22. Самолет движется в горизонтальной плоскости. Сила тяги двигателя F постоянна по модулю и направлена по век­тору скорости самолета. Сила сопротивления воздуха проти­воположна вектору скорости и пропорциональна квадрату скорости. Рули поворота создают силу, пропорциональную квадрату скорости самолета и направленную перпендикуляр­но вектору скорости. Коэффициент пропорциональности этой силы .

23. Вагон на магнитном подвесе движется в плоскости ху. Ось у вертикальна, ось х совпадает с рельсом. Сила тяги F, создаваемая линейным двигателем, постоянна и направлена вдоль оси х. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости вагона и направлена в сторону, противоположную вектору скорости. Сила отталкивания, возникающая между вагоном и рельсом, направлена вертикально вверх и обратно пропорциональна квадрату расстояния между вагоном и рель­сом, коэффициент пропорциональности k.

24. Катер движется под действием силы тяги двигателя F, направленной по вектору скорости катера. Сила сопротивле­ния воды пропорциональна скорости катера и направлена противоположно вектору скорости. За счет поворота руля возникает сила, перпендикулярная вектору скорости катера, величина которой изменяется с течением времени по формуле .

Принять 1/с. Ввести обозначение

25. В установке для плавки редких металлов частица ру­ды находится во взвешенном состоянии в магнитном поле. Сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, направлена к началу координат и пропорциональна расстоянию от частицы до начала системы координат, коэффициент пропорциональности с. Сила сопротивления среды пропор­циональна квадрату скорости частицы и направлена проти­воположно вектору скорости.

Ось у направить вертикально вверх. Ввести обозначение

26. Аппарат на воздушной подушке движется по горизон­тальной плоскости под действием силы тяги , где f = 10 кН. Сила тяги направлена по вектору скорости ап­парата. Сила сопротивления воздушной среды противополож­на вектору скорости, ее модуль пропорционален скорости. Рули поворота создают силу, пропорциональную скорости ап­парата и направленную перпендикулярно вектору скорости, коэффициент пропорциональности этой силы .

27. В конце конвейера имеется наклонная плоскость, на которую попадает деталь веса Р. Проекции силы тяжести на оси х, у, z (z — нормаль к наклонной плоскости) имеют сле­дующий вид: , где — угол наклона плоскости к горизонту.

При движении на деталь действует сила трения, направ­ленная в сторону, противоположную вектору скорости. Ее модуль равен произведению коэффициента трения f на силу нормального давления. Сопротивлением среды пренебречь.

28. Частица движется во вращающемся с угловой ско­ростью 1/сек горизонтальном потоке жидкости сепарирующего устройства. Сила воздействия жидкости на частицу пропорциональна скорости частицы относительно жидкости и направлена в сторону, противоположную этой скорости. Жид­кость вращается так, что скорости ее точек распределены как .

Из-за перепада давления вдоль радиуса на частицу дей­ствует сила, направленная к началу координат и определяемая по модулю как произведение массы а объема жидкости, вытесненного частицей, квадрата угловой скорости жидкости и расстояния от частицы до оси вращения (до начала координат).

29. Глубоководный аппарат опущен на тросе в океан. Ап­парат имеет отрицательную плавучесть Q=10 кН (плавучестью называется разность между архимедовой силой и ве­сом). Трос считается прямолинейным, а его воздействие на аппарат пропорционально удлинению и направлено к точке подвеса, коэффициент пропорциональности с. Длина троса в недеформированном состоянии равна а.

Океанское течение воздействует на аппарат с силой, про­порциональной скорости аппарата относительно воды. Ско­рость течения горизонтальна.

Начало координат выбрать в точке подвеса троса, ось х направить вертикально вниз, ось у — вправо.

30. Космический корабль с плоским управляемым солнеч­ным парусом переходит с орбиты Земли на орбиту Марса, испытывая притяжение Солнца и давление солнечного света. Силы притяжения к Земле, Марсу и другим планетам не учитываются.

Сила притяжения обратно пропорциональна квадрату рас­стояния до Солнца и пропорциональна массе корабля, ко­эффициент пропорциональности k. Давление солнечного све­та обратно пропорционально квадрату расстояния до Солнца; для паруса, полностью отражающего свет, оно направле­но по внешней нормали к парусу и пропорционально квадра­ту косинуса угла между этой нормалью .и направлением солнечных лучей (парус управляется так, что угол посто­янен и равен 45°) и площади паруса S, коэффициент пропорциональности с = H.

Начало координат совместить с центром Солнца.

1 Тл = 1 Н/(А.м)

8