Московский Авиационный Институт (Государственный Технический Университет)

Лабораторная работа №3.

Экспериментальное определение закона распределения случайной величины.

Вариант №12.

Выполнил: студент гр. 04-212

Кувакин Дмитрий

Проверил: Рудненко Александр Васильевич

Москва 2011

Содержание

Теоретическая справка……………………………………………..……………3

Расчетная часть при выборке состоящей из n=30 элементов…..………….…5

Расчетная часть при выборке состоящей из n=100 элементов.. .………….…8

Расчетная часть при выборке состоящей из n=200 элементов….…………..11

Таблица распределения хи-квадрат Пирсона………………….…..…….…..16

Цель работы: Ознакомить студентов с методами оценивания параметров закона распределения случайной величины по ре­зультатам эксперимента и способом проверки гипотез о законе распределения с помощью критерия согласия хи-квадрат Пирсона.

Теоретическая справка. Математическое ожидание

Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число — её «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной величины X называется число

,

то есть математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий. Если случайная величина X принимает значения . Тогда справедливо равенство

,

Пусть X — случайная величина, M(X) — её математическое ожидание, a — некоторое число. Тогда

1. M(a) = a;

2. ;

3. .

Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что достигает минимума по a при a = M(X). Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно .

Дисперсией случайной величины X называется число

.

Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений.

Пусть X — случайная величина, a и b — некоторые числа, Y = aX + b. Тогда

D(Y) = a²D(X).

.

Пусть — попарно независимые случайные величины (то есть X_i и X_j независимы, если ). Пусть Y_k — их сумма, , тогда дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых,

.

Для любых случайкых величин математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых,

.

Хи-квадрат Пирсона.

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. В дальнейших разделах книги много раз встречаются эти распределения.

Распределение Пирсона χ² (хи-квадрат) — распределение случайной величины

,

где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение N(0,1). При этом число слагаемых, то есть n, называется «числом степеней свободы» распределения хи-квадрат.

Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категорированных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных.

n=30 Смоделирована выборка, состоящая из элементов: