Типовой расчёт по теории вероятностей и случайным величинам

Вариант № 1

1. Проверить тождество между событиями: с помощью диаграммы Венна.

2. Пятнадцать бильярдных шаров раскладываются в шестнадцати ячейках, расположенных в ряд, в каждой ячейке не более одного шара. Определить вероятность того, что шары под номером 3 и 4 окажутся в соседних ячейках.

3. На отрезок [ 0, 5 ] случайно бросаются две точки. Найти вероятность того, что расстояние между ними не превысит h = 3. Сделать чертёж.

4. В урне 15 шаров, среди которых 5 белых и 10 чёрных. Наудачу извлекают 5 шаров. Определить вероятность того, что: а) все шары белого цвета; б) 3 шара белых, а остальные чёрные; в) все шары одного цвета.

5. На четырёх карточках написаны по одной из цифр: 1, 2, 3, 4. Три из них произвольно вынимаются и укладываются на стол в порядке появления. Какая вероятность того, что полученное число будет кратно трём?

6. Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что на одной игральной кости будет на одно очко больше, чем на другой?

7. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 1-м стрелком равна 0,8, а 2-м стрелком равна 0,7. Стрелки выстрелили в цель по два раза. Какая вероятность того, что 1-й стрелок попадёт только один раз, а 2-й оба раза промахнётся?

8. В отборочных соревнованиях участвуют 4 студента из 1-й группы, 6 - из 2-й группы и 5 - из 3-й группы. Вероятности попадания в сборную команду института для студентов этих групп соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент вошёл в сборную команду. Какая вероятность, что это студент из 1–й группы?

9. В магазин вошло 4 покупателя. Найти вероятность того, что 2 из них совершат покупку, если вероятность совершить покупку для каждого из них одинакова и равна 0,4.

10. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74-х раз.

11. Устройство состоит из 5-ти независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Случайная величина X – число отказавших элементов устройства в одном опыте. Для случайной величины X найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения; 3) M(X) и D(X).

12. В ящике 6 шаров с номерами: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбираются 2 шара (без возвращения). Случайная величина X – произведение номеров у выбранных шаров. Найти: а) ряд распределения; б) M(X), D(X).

13. Случайная величина X имеет плотность распределения

.

Найти: 1) параметр с; 2) функцию распределения F(x); 3) P(0 < X < 2); 4) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X); 5) графики функций F(x) и f(x); 6) функцию распределения F_Y(y) и плотность распределения f_Y(y) для случайной величины Y = 2X + 1.

14. Случайная величина X равномерно распределена на [a, b]. Дано математическое ожидание M(X) = 4 и дисперсия D(X) = 3. Найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [1, 5]; г) построить графики функций f(x) и F(x); показать на них геометрический смысл P (1  X  5).

15. Бросаются один раз 2 игральные кости. Случайные величины:

Найти: а) законы распределения для X и Y; б) закон распределения для двумерной величины (X, Y); в) основные характеристики: M(X), M(Y), D(X), D(Y), r(X, Y).

Типовой расчёт по теории вероятностей и случайным величинам

Вариант № 2

1. Доказать, что .

2. Из пяти лампочек синего и четырёх красного цвета случайным образом составляется гирлянда. Найти вероятность того, что цвета в гирлянде будут чередоваться.

3. На отрезок [ 0, 6 ] случайно бросаются две точки. Найти вероятность того, что расстояние между ними не превысит h = 2. Сделать чертёж.

4. В урне 20 шаров, среди которых 8 белых и 12 чёрных. Наудачу извлекают 4 шара. Определить вероятность того, что: а) все шары белого цвета; б) 2 шара белых, а остальные чёрные; в) все шары одного цвета.

5. В группе 20 студентов, из которых трое старше 20 – ти лет. Какая вероятность того, что из трёх случайно взятых студентов этой группы два студента будут старше 20 – ти лет?

6. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает её наудачу. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 2 места.

7. В тире три ружья, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,6; 0,8; 0,9. Найти вероятность попадания при одном выстреле, если стрелок берет ружье наугад.

8. Прибор содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказов этих элементов соответственно равны 0,05 и 0,1. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент?

9. Найти вероятность того, что событие А появится в трёх независимых испытаниях не более 2-х раз, если в каждом испытании оно может появиться с вероятностью 0,2.

10. Вероятность поражения мишени стрелком при каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не меньше 75 раз.

11. Случайная величина X – число попаданий мячом в корзину при 4 – х бросках, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,4. Для случайной величины X найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения;

3) M(X) и D(X).

12. Из букв разрезной азбуки, составляющих слов «студентка», наугад берутся 3 буквы. Случайная величина X – число взятых согласных букв. Найти: а) ряд распределения; б) M(X), D(X).

13. Случайная величина X имеет функцию распределения

.

Найти: 1) параметр с; 2) функцию плотности f(x); 3) P(1 < X < 2,5); 4) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X); 5) графики функций F(x) и f(x); 6) функцию распределения и плотность распределения для случайной величины Y = 1 – X.

14. Случайная величина X равномерно распределена на [a, b]. Дано математическое ожидание M(X) = – 2 и дисперсия D(X) = . Найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [– 1, 2]; г) построить графики функций f(x) и F(x); показать на них геометрический смысл P (– 1  X  2).

15. В ящике 3 занумерованных шара (номера 1, 2, 3). Наугад берут 2 шара. Случайные величины: X – сумма очков;

Найти: а) законы распределения для X и Y; б) закон распределения для двумерной величины (X, Y); в) основные характеристики: M(X), M(Y), D(X), D(Y), r(X, Y).

Типовой расчёт по теории вероятностей и случайным величинам

Вариант № 3

1. Упростить выражение: .

2. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков простое число.

3. На отрезок [ 0, 8 ] случайно бросаются две точки. Найти вероятность того, что расстояние между ними не превысит h = 1. Сделать чертёж.

4. В урне 15 шаров, среди которых 10 белых и 5 чёрных. Наудачу извлекают 5 шаров. Определить вероятность того, что: а) все шары белого цвета; б) 2 шара белых, а остальные чёрные; в) все шары одного цвета.

5. Ребёнок играет с четырьмя буквами: А, А, М, М. Какова вероятность, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово МАМА?

6. В ящике 10 белых и 5 черных шаров. Наугад вынимаются 2 из них. Какой состав шаров по цвету извлечь наиболее вероятно?

7. Вероятность попадания в цель 1-м стрелком равна 0,6, 2-м стрелком 0,8, а 3-м стрелком 0,7. Стрелки произвели по одному выстрелу. Какова вероятность хотя бы одного попадания в цель?

8. В ящик, содержащий 2 одинаковые детали, брошена стандартная деталь того же вида, а затем наудачу взята одна деталь. Найти вероятность того, что эта деталь будет стандартной, если все предположения о начальном количестве стандартных деталей в ящике равновозможны.

9. Футболист забивает мяч с пенальти в каждой попытке с вероятностью 0,8. Какова вероятность забить только один мяч в двух попытках?

10. Вероятность поражения мишени стрелком при каждом выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.

11. В лаборатории независимо друг от друга работают 5 приборов. Вероятность того, что в данный момент прибор работает, равна 0,8. Случайная величина X – число работающих в данный момент приборов. Для случайной величины X найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения; 3) M(X) и D(X).

12. Из ящика, в котором 3 белых и 5 чёрных шаров, вытаскивают 3 шара. Случайная величина X – число белых шаров в выборке. Найти: а) ряд распределения; б) M(X), D(X).

13. Случайная величина X имеет плотность распределения

.

Найти: 1) параметр с; 2) функцию распределения F(x); 3) P(1 < X < 3); 4) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X); 5) графики функций F(x) и f(x); 6) функцию распределения F_Y(y) и плотность распределения f_Y(y) для случайной величины Y = X – 1.

14. Случайная величина X равномерно распределена на [a, b]. Дано математическое ожидание M(X) = 1 и дисперсия D(X) = . Найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [0, 3]; г) построить графики функций f(x) и F(x); показать на них геометрический смысл P (0  X  3).

15. Из полного набора шахматных фигур (32 фигуры) наугад взяли 2 фигуры. Случайные величины: X – число белых фигур; Y – число коней в выборке.

Найти: а) законы распределения для X и Y; б) закон распределения для двумерной величины (X, Y); в) основные характеристики: M(X), M(Y), D(X), D(Y), r(X, Y).

Типовой расчёт по теории вероятностей и случайным величинам

Вариант № 4

1. Два шахматиста играют 2 партии. Рассмотрим события: A = {выиграл 1-й шахматист}, B ={выиграл 2-й шахматист}, C ={ничья}. Описать множество элементарных исходов  и подмножество D ={1-й шахматист заработал не менее 1,5 очков}.

2. Задумано двухзначное число. Найти вероятность того, что оно кратно 5.

3. На отрезок [ 0, 4 ] случайно бросаются две точки. Найти вероятность того, что расстояние между ними, не превысит h = . Сделать чертёж.

4. В урне 18 шаров, среди которых 10 белых и 8 чёрных. Наудачу извлекают 6 шаров. Определить вероятность того, что: а) все шары белого цвета; б) 4 шара белых, а остальные чёрные; в) все шары одного цвета.

5. На шахматную доску произвольным образом поставили две ладьи (белую и черную) каждую в клетку своего цвета. Что вероятнее: побьют эти ладьи друг друга, или нет?

6. Две одинаковые монеты радиуса r , не перекрывая друг друга, расположены внутри круга радиуса R , в который наудачу брошена точка. Определить вероятность того, что точка попадёт на одну из монет.

7. Производится стрельба по цели двумя снарядами. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. При одном попадании цель поражается с вероятностью 0,5, при 2-х попаданиях с вероятностью 0,8. Найти вероятность поражения цели.

8. На одном заводе на каждые 100 лампочек приходится в среднем 5 нестандартных, на втором – 10, на третьем – 15. Продукция этих заводов составляет соответственно 50%, 30% и 20% всех лампочек, приобретаемых жителями района. Найти вероятность того, что приобретённая лампочка будет стандартной.

9. Зачёт состоит из 5 - ти вопросов. На каждый вопрос дано 3 возможных ответа, среди которых нужно выбрать один правильный. Какова вероятность того, что методом простого угадывания удастся правильно ответить больше, чем на 3 вопроса?

10. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

11. Монету бросают 6 раз. Случайная величина X – число выпадений герба. Для случайной величины X найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения; 3) M(X) и D(X).

12. Из группы в 20 студентов, среди которых 5 отличников, выбрали случайным образом 3-х человек. Случайная величина X – число отличников в выборке. Найти: а) ряд распределения; б) M(X), D(X).

13. Случайная величина X имеет функцию распределения

.

Найти: 1) параметр с; 2) функцию плотности f(x); 3) P(X < 3); 4) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X); 5) графики функций F(x) и f(x); 6) функцию распределения и плотность распределения для случайной величины Y = X + 2.

14. Случайная величина X равномерно распределена на [a, b]. Дано математическое ожидание M(X) = 2 и дисперсия D(X) = . Найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [1,5, 2,25]; г) построить графики функций f(x) и F(x); показать на них геометрический смысл P (1,5  X  2,25).

15. В ящике 1 белый и 2 чёрных шара. Наугад взяли 2 шара. Случайные величины: X – число чёрных шаров; Y – число белых шаров среди выбранных.

Найти: а) законы распределения для X и Y; б) закон распределения для двумерной величины (X, Y) ; в) основные характеристики: M(X), M(Y), D(X), D(Y), r(X, Y).

Типовой расчёт по теории вероятностей и случайным величинам

Вариант № 5

1. Опыт состоит в 3 -х кратном подбрасывании монеты. Описать множество элементарных исходов  и подмножество A = {цифра выпала только один раз}.

2. В мешочке пять карточек азбуки с буквами: Л, Т, О, О, С. Карточки последовательно, наугад, вынимаются из мешочка и раскладываются в ряд. Найти вероятность того, что получится слово ЛОТОС.

3. На отрезок [ 0, 7 ] случайно бросаются две точки. Найти вероятность того, что расстояние между ними не превысит h = 4. Сделать чертёж.

4. В урне 21 шар, среди которых 7 белых и 14 чёрных. Наудачу извлекают 5 шаров. Определить вероятность того, что: а) все шары белого цвета; б) 3 шара белых, а остальные чёрные; в) все шары одного цвета.

5. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ хотя бы на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на 8 вопросов из тех 40, которые могут быть предложены. Какова вероятность сдачи коллоквиума?

6. Внутри квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) наугад выбирается точка М(x,y). Какова вероятность, что ее координаты удовлетворяют неравенству x² + y² < 1?

7. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 3 бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7.

8. Имеется 3 партии деталей по 20 в каждой. Число стандартных деталей в 1-й, 2-й и 3-ей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наугад взятой партии наугад извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Какова вероятность, что деталь была взята из второй партии?

9. Устройство содержит 4 элемента, вероятность отказа каждого из них равна 0,1. Найти вероятность того, что в устройстве откажет только один элемент.

10. Найти вероятность того, что при 180 бросаниях игральной кости «шестёрка» выпадет 30 раз.

11. В некотором цехе брак составляет 2% всех изделий. Наугад взяты 4 изделия. Случайная величина X – число бракованных изделий в выборке. Для случайной величины X найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения;

3) M(X) и D(X).