Способи знаходження перехідної матриці в багатовимірнихз системах

Для знаходження перехідної матриці використовують 3 способи :

1. метод варіації довільних сталих.

  Якщо фундаментальна матриця , стовпці якої утв.фундаментальну систему рішень одномірної системи диф. рівняння , відома, то перехідна матриця знах. за формулою =

2)за теоремою розкладання Сильвестра. Перехідна матриця стаціонарної системи визначається за формулою:

Де  - власні значення матриці А (тут передбачається, що вони різні), а Е - одинична матриця.

3)за теоремою Келі-Гамільтона. Розглянемо два випадки її застосування. 1. У разі різних власних значень матриці А:    де n - число рядків матриці А;  - (n-1)-й ступінь матриці А; коефіцієнти знаходяться із системи рівнянь   2. У разі кратних власних значень матриці А формула також справедлива.Корню  кратності m в системі n рівнянь відповідають співвідношення

Знаходження перехідної матриці методом варіації довільних сталих  Якщо фундаментальна матриця , стовпці якої утв.фундаментальну систему рішень одномірної системи диф. рівняння , відома, то перехідна матриця знах. за формулою =

Загальне рішення однорідної системи можна записати у вигляді де  - довільні постійні.

Для стационарных систем следует выполнить действия:

1. Знайти корені ХР де Е – одинична матриця.

2. Выписать выражение общего решения для каждой компоненты вектора x, следуя известным правилам в зависимости от типа корней. При этом произвольные постоянные в выражении различны.

3. Полученные выражения подставить в однородную систему.

4. Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.

5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в форме . В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле – переходная.

Знаходження перехідної матриці за теоремою розкладання Сильвестра

Перехідна матриця стаціонарної системи визначається за формулою:

Де  - власні значення матриці А (тут передбачається, що вони різні), а Е - одинична матриця.Приклад:

А Тоді .

Знаходження перехідної матриці з використанням теореми Келі-Гамільтона Розглянемо два випадки її застосування. 1. У разі різних власних значень матриці А:    де n - число рядків матриці А;  - (n-1)-й ступінь матриці А; коефіцієнти знаходяться із системи рівнянь   2. У разі кратних власних значень матриці А формула також справедлива.Корню  кратності m в системі n рівнянь відповідають співвідношення

Аналіз стійкості економічних систем

Економічна система — це сукупність усіх видів економічної діяльності людей у процесі їх взаємодії. Система називається стійкою, якщо вона стійка за входом і за початковими даними. Вигляд ДР: = .

Система називається стійкою за початковими даними, якщо за ненульових обмежених поч. умов віл. рух обмежений при всіх t і =0.

Система називається стійкою за входом, якщо при будь-якій обмеженій дії реакція системи є обмеженою у будь-який момент часу t .

Критерії стійкості: 1)стійка за поч. даними; 2) критерій Рауса-Гурвіца; 3)стійка за входом.

Необхідна умова стійкості: якщо система стійка, то всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні.

Приклад: = g Характеристичне рівняння має від’ємні(кратні) корені = - 1, а_о=1>0, система стійка. Порядок (m = 0) правої частини рівняння меньше порядка (n = 2) лівої частини - m<n – система стійка за входом. Згідно 1) і 3) критеріям система стійка.

Стійкість економічних систем за початковими даними

Економічна система — це сукупність усіх видів економічної діяльності людей у процесі їх взаємодії.

Система називається стійкою за початковими даними, якщо за ненульових обмежених поч. умов віл. рух обмежений при всіх t і =0.

Критерій стійкості : Для стійкості системи за поч. даними необхідно і достатньо, щоб корені характеристичного рівняння = 0 мали від’ємні дійсні частини : Re < 0, i = 1,…, n знаходились в лівій півплоскості комплексної плоскості.

Приклад: = g Характеристичне рівняння має від’ємні(кратні) корені = - 1, а_о=1>0, система стійка за початковими даними.

Стійкість економічних систем за входом

Економічна система — це сукупність усіх видів економічної діяльності людей у процесі їх взаємодії.

Система називається стійкою за входом, якщо при будь-якій обмеженій дії реакція системи є обмеженою у будь-який момент часу t .

Критерій стійкості : Якщо с-ма стійка за поч. даними і порядок m диференціального оператора _{M(p)= +…+} правої частини рівняння не більше порядку n і диференціального оператора _{D(p)= +…+} лівої частини, тобто m n, то система стійка за входом.

Приклад: = g. Порядок (m = 0) правої частини рівняння меньше порядка (n = 2) лівої частини - m<n – система стійка за входом.

Прямий і побічний критерії стійкості економічних систем

Перший критерій стійкості(за початковими даними) називається прямим, а другий(критерій Рауса-Гурвіца) – побічним, тому що в цьому випадку процедура аналізу стійкості не вимагає знаходження коренів рівняння.

1. Для стійкості системи за поч. даними необхідно і достатньо, щоб корені характеристичного рівняння = 0 мали від’ємні дійсні частини : Re < 0, i = 1,…, n знаходились в лівій півплоскості комплексної плоскості.

2. Критерій Рауса-Гурвіца - для стійкості системи за поч. даними необхідно і достатньо, щоб кутові мінори матриці були додатніми >0, i=1,…,n, де = , = …

Приклад: = g Характеристичне рівняння має від’ємні(кратні) корені = - 1, а_о=1>0, система стійка за початковими даними.

Критерій Рауса-Гурвіца

Економічна система — це сукупність усіх видів економічної діяльності людей у процесі їх взаємодії. Критерій Рауса-Гурвіца(використовується для перевірки від’ємних дійсних частин коренів характеристичного рівняння) – для стійкості системи за поч. даними необхідно і достатньо, щоб кутові мінори матриці були додатніми >0, i=1,…,n, де = , = …

При заповненні матриці відсутні в рівнянні коефіцієнти і при і >n заміняються 0.

Приклад: = g. = 1, = 2, = 3, = 4.

Розраховуємо кутові мінори: = 2 > 0, = =2 > 0, .Вони додатні. Згідно критерію Рауса-Гурвіца с-ма стійка.

Стійкість багатовимірних економічних систем

Розглядається лінійна багатовимірна стаціонарна система , Багатовимірна система називається асимптотично стійкою, якщо її вільний рух обмежений при початкових станах і виконується умова

Приклад: Тоді Характеристичне рівняння або має від’ємні корені: Згідно в першим критерієм( ) система стійка.

Необхідна умова стійкості економічних систем

Необхідна умова стійкості: якщо система(для багатовимірних с-м – асимптотично) стійка, то всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні.

Приклад одновимірної: = g Характеристичне рівняння має від’ємні(кратні) корені = - 1, а_о=1>0, система стійка. Порядок (m = 0) правої частини рівняння меньше порядка (n = 2) лівої частини - m<n – система стійка за входом. Згідно 1) і 3) критеріям система стійка.

Приклад багатовимірної: Тоді Характеристичне рівняння або має від’ємні корені: Згідно в першим критерієм( ) система стійка.

Достатні критерії стійкості економічних систем

Критерії стійкості багатовимірних систем:

1. Для асимптотичної стійкості системи необхідно і достатньо, щоб корені характеристичного рівняння det мали від’ємні дійсні частини: Re , ,…,n, тобто знаходились в лівій півплоскості комплексної плоскості.

2. Критерій Рауса-Гурвіца(використовується для перевірки від’ємних дійсних частин коренів характеристичного рівняння).

Приклад: Тоді Характеристичне рівняння або має від’ємні корені: Згідно в першим критерієм( ) система стійка.

Аналіз керованості та спостережуваності систем

Нехай дана багатовимірна система, що описує рівняння стану і виходу з відповідними матрицями А, В, С -

Система називається керованою, якщо вибором деякого керуючого впливу її можна перевезти з довільного початкового стану у довільний наперед заданий кінцевий стан.

Система називається спостережуваною, якщо за реакцією на виході системи при заданому керуючому впливі можна визначити початковий стан системи.

Алгоритм рішення : 1) в рівняннях стану та виходу виділимо матриці А, В, С; 2) зіставимо матрицю керованості W та матрицю спостережуваності Q; 3) підрахувати ранги обох матриць и зробити висновок про керованість та спостережуваність на основі кожного критерію.

Приклад:

(B AB) ( ) Згідно з критеріями система є керованою, але не являється повністю спостережуваною.

Критерій керованості трансформаційних систем

Для того, щоб система була керованою необхідно і достатньо, щоб ранг матриці керованості ( … ) дорівнював вимірності вектора стану .

Алгоритм рішення : 1) в рівняннях стану та виходу виділимо матриці А, В, С; 2) зіставимо матрицю керованості W та матрицю спостережуваності Q; 3) підрахувати ранги обох матриць и зробити висновок про керованість та спостережуваність на основі кожного критерію.

Приклад:

(B AB) Згідно з критерієм система є керованою.

Критерій спостережуваності трансформаційних сисі достатем

Для того, щоб система була достатньо спостережуваною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці спостережуваності Q=( … ) дорівнював вимірності вектора стану .

Алгоритм рішення : 1) в рівняннях стану та виходу виділимо матриці А, В, С; 2) зіставимо матрицю керованості W та матрицю спостережуваності Q; 3) підрахувати ранги обох матриць и зробити висновок про керованість та спостережуваність на основі кожного критерію.

Приклад:

( ) Згідно з критерієм система є спостережуваною..