Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
курсовая Методы оптимизации.docx
Скачиваний:
8
Добавлен:
16.07.2019
Размер:
173.39 Кб
Скачать

Министерство образования Российской Федерации

МАТИ-Российский государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского

Кафедра «Технологии интегрированных автоматизированных систем»

Курсовая работа по дисциплине:

«Методы оптимизации»

Выполнила Морозова Л.А.

Студентка группы: 2АСУ-3ДБ-141

Проверила: Козлова О.В.

Москва 2011

Содержание

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3

1. УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ………………………………………………………….5

1.1 Исходные данные транспортной задачи в форме графа и в матричной форме.

1.2 Целевая функция и критерий оптимизации.

2. ПОСТРОЕНИЕ ОПОРНОГО ПЛАНА……………………………………….7

2.1 Общий алгоритм построения опорного плана методом аппроксимации Фогеля или методом северно-западного угла.

2.2 Построение опорного плана методом аппроксимации Фогеля или методом северно-западного угла.

2.3 Представление опорного плана в форме графа.

3. УЛУЧШЕНИЕ ОПОРНОГО ПЛАНА……………………………………….10

3.1 Общий алгоритм метода потенциалов.

3.2 Решение системы уравнений.

3.3 Определение значений потенциалов δij.

3.4 Построение улучшенного плана.

3.5 Определение значений целевой функции по новому плану.

3.6 Второй шаг оптимизации.

3.7 Третий шаг оптимизации.

4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА В ФОРМЕ МАТРИЦЫ И ГРАФА…………………………………………………………………………..18

5. ВЫВОД………………………………………………………………………19

ВВЕДЕНИЕ

Первые задачи геометрического содержания, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин, появились ещё в древние времена. Развитие промышленности в XII-XIII веках привело к необходимости исследования более сложных задач на экстремум и к появлению вариационного исчисления. Однако лишь в XX веке при огромном размахе производства и осознании ограниченности ресурсов Земли, встала задача оптимального использования энергии, материалов, рабочего времени. Большую актуальность приобрели вопросы наилучшего, в том или ином смысле, управления различными процессами физики, техники, экономики и других процессов. Сюда относятся, например, задача организации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресурсов, задача управления системой гидростанций и водохранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии, задача о быстрейшем нагреве или остывании металла до заданного температурного режима, задача о наилучшем гашении вибраций и многие другие задачи.

Задача оптимизации может быть успешно решена с помощью ЭВМ, даже при небольшой вычислительной мощности. При этом качество расчета и скорость вычислений зависит от используемого программного обеспечения.

Существует несколько основных алгоритмов оптимизации: методом перебора, симплекс-методом, (решением экстремальных уравнений или неравенств), метод аппроксимации Фогеля.

Наибольший интерес представляет симплекс-метод, при относительно несложном алгоритме позволяющий просчитывать и находить решение для сотен и тысяч уравнений (неравенств).

Многие задачи оптимизации сводятся к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией или критерием качества. Постановка задачи и методы исследования существенно зависят от свойств целевой функции и той информации о ней, которая может считаться доступной в процессе решения задачи, а также, которая известна до решения задачи.

Линейным программированием называются задачи оптимизации, в которых целевая функция является линейной функцией своих аргументов, а условия, определяющие их допустимые значения, имеют вид линейных уравнений и неравенств. Линейное программирование начало развиваться в первую очередь в связи с задачами экономики, с поиском способов оптимального распределения и использования ресурсов. Оно послужило основой широкого использования математических методов в экономике. Следует подчеркнуть, что в рамках реальных экономических задач число независимых переменных обычно бывает очень большим (порядка 10000 элементов).

Транспортная задача является классической задачей исследования операций. Множество задач распределения ресурсов сводится именно к этой задаче. Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход.

  1. Условие задачи

    1. Исходные данные транспортной задачи в форме графа и в матричной форме.

И

b1

сходные данные в форме графа:

113

a1

3090

3

124

147

172

b2

820

123

137

114

1188

124

a2

3120

3

143

164

b3

980

142

a3

3270

4

153

145

121

b4

640

165

154

148

a4

3620

4

163

b5

560

3900

Для того чтобы представить условия задачи в виде матрицы необходимо проверить её на сбалансированность.

3820+3980+4640+4560=3090+3120+3270+3620+3900

Данная задача сбалансирована.

Исходные данные в матричной форме:

a1

a2

a3

a4

3820

3980

4640

4560

b1

3090

113

124

137

153

b2

3120

172

188

114

123

b3

3270

147

164

192

165

b4

3620

142

121

145

154

b5

3900

124

143

148

163

1.2 Целевая функция и критерий оптимизации

Транспортной задачей линейного программирования называется задача поиска минимума функции

при ограничениях:

если справедливо условие:

  1. Построение опорного плана

2.1 Общий алгоритм построения опорного плана методом аппроксимации Фогеля.

Существует множество методом для составления опорного плана. Одним из них является метод аппроксимации Фогеля, основанный на концепции взыскания штрафов за выбор не оптимального с точки зрения транспортных издержек маршрута.

Алгоритм построения опорного плана методом аппроксимации Фогеля:

  1. В каждой строке в таблице находим наименьшую стоимость и ближайшую к ней, определяем разность между ними и помещаем в столбец разности (1).

b1

b2

bn

a1

C11

C12

C1n

a2

C21

C22

C2n

(1)

am

Cm1

Cm2

cmn

(2)

I

  1. В каждом столбце находим наименьшую стоимость и ближайшую к ней, определяем разность между ними и помещаем в строку разности (2). Таким образом, формируются столбец и строка разности, соответствующие одной итерации I.

  2. В столбце и строке разности находим наибольшее значение и выделяем его.

  3. В строке или столбце таблицы соответствующей найденной наибольшей разности находим наименьшую стоимость и помещаем туда максимально возможное количество продукции.

  4. Далее повторяется пункт 1-4 для следующих итераций

Если вся продукция от поставщика вывезена, то соответствующая строка полностью исключается из расчета. Если потребитель полностью удовлетворен, то столбец полностью исключается из расчета.

Метод аппроксимации Фогеля содержит множество математических расчетов, более сложен к пониманию, но дает план, если не оптимальный, то очень близкий к нему.

2.2 Построение опорного плана методом аппроксимации Фогеля.

a1

a2

a3

a4

3820

3980

4640

4560

b1

3090

113

2730

124

360

137

-

153

-

11

11

11

24

b2

3120

172

-

188

-

114

-

123

3120

9

b3

3270

147

1090

164

-

192

740

165

1440

17

17

17

18

18

b4

3620

142

-

121

3620

145

-

154

-

21

21

b5

3900

124

-

143

-

148

3900

163

-

19

19

19

24

24

11

3

23

30

I

11

3

8

1

II

11

19

11

10

III

11

11

10

IV

23

44

2

V

Найдем значение целевой функции:

Z=113*2730+124*360+123*3120+147*1090+192*740+165*1440+121*3620+

148*3900=2292020