- •Условие задачи
- •Исходные данные транспортной задачи в форме графа и в матричной форме.
- •1.2 Целевая функция и критерий оптимизации
- •Построение опорного плана
- •2.3 Представление опорного плана в форме графа.
- •Улучшение опорного плана
- •3.1 Общий алгоритм метода потенциалов
- •3.2 Решение системы уравнений
- •Представление оптимального плана в форме графа и матрицы.
Министерство образования Российской Федерации
МАТИ-Российский государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского
Кафедра «Технологии интегрированных автоматизированных систем»
Курсовая работа по дисциплине:
«Методы оптимизации»
Выполнила Морозова Л.А.
Студентка группы: 2АСУ-3ДБ-141
Проверила: Козлова О.В.
Москва 2011
Содержание
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….3
1. УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ………………………………………………………….5
1.1 Исходные данные транспортной задачи в форме графа и в матричной форме.
1.2 Целевая функция и критерий оптимизации.
2. ПОСТРОЕНИЕ ОПОРНОГО ПЛАНА……………………………………….7
2.1 Общий алгоритм построения опорного плана методом аппроксимации Фогеля или методом северно-западного угла.
2.2 Построение опорного плана методом аппроксимации Фогеля или методом северно-западного угла.
2.3 Представление опорного плана в форме графа.
3. УЛУЧШЕНИЕ ОПОРНОГО ПЛАНА……………………………………….10
3.1 Общий алгоритм метода потенциалов.
3.2 Решение системы уравнений.
3.3 Определение значений потенциалов δij.
3.4 Построение улучшенного плана.
3.5 Определение значений целевой функции по новому плану.
3.6 Второй шаг оптимизации.
3.7 Третий шаг оптимизации.
4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА В ФОРМЕ МАТРИЦЫ И ГРАФА…………………………………………………………………………..18
5. ВЫВОД………………………………………………………………………19
ВВЕДЕНИЕ
Первые задачи геометрического содержания, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин, появились ещё в древние времена. Развитие промышленности в XII-XIII веках привело к необходимости исследования более сложных задач на экстремум и к появлению вариационного исчисления. Однако лишь в XX веке при огромном размахе производства и осознании ограниченности ресурсов Земли, встала задача оптимального использования энергии, материалов, рабочего времени. Большую актуальность приобрели вопросы наилучшего, в том или ином смысле, управления различными процессами физики, техники, экономики и других процессов. Сюда относятся, например, задача организации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресурсов, задача управления системой гидростанций и водохранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии, задача о быстрейшем нагреве или остывании металла до заданного температурного режима, задача о наилучшем гашении вибраций и многие другие задачи.
Задача оптимизации может быть успешно решена с помощью ЭВМ, даже при небольшой вычислительной мощности. При этом качество расчета и скорость вычислений зависит от используемого программного обеспечения.
Существует несколько основных алгоритмов оптимизации: методом перебора, симплекс-методом, (решением экстремальных уравнений или неравенств), метод аппроксимации Фогеля.
Наибольший интерес представляет симплекс-метод, при относительно несложном алгоритме позволяющий просчитывать и находить решение для сотен и тысяч уравнений (неравенств).
Многие задачи оптимизации сводятся к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией или критерием качества. Постановка задачи и методы исследования существенно зависят от свойств целевой функции и той информации о ней, которая может считаться доступной в процессе решения задачи, а также, которая известна до решения задачи.
Линейным программированием называются задачи оптимизации, в которых целевая функция является линейной функцией своих аргументов, а условия, определяющие их допустимые значения, имеют вид линейных уравнений и неравенств. Линейное программирование начало развиваться в первую очередь в связи с задачами экономики, с поиском способов оптимального распределения и использования ресурсов. Оно послужило основой широкого использования математических методов в экономике. Следует подчеркнуть, что в рамках реальных экономических задач число независимых переменных обычно бывает очень большим (порядка 10000 элементов).
Транспортная задача является классической задачей исследования операций. Множество задач распределения ресурсов сводится именно к этой задаче. Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход.
Условие задачи
Исходные данные транспортной задачи в форме графа и в матричной форме.
И
b1
сходные данные в форме графа:
113
a1
30903
124
147
172
b2
820
123
137
114
1188
124
a2
31203
143
164
b3
980
142
a3
32704
153
145
121
b4
640
165
154
148
a4
36204
163
b5
5603900
Для того чтобы представить условия задачи в виде матрицы необходимо проверить её на сбалансированность.
3820+3980+4640+4560=3090+3120+3270+3620+3900
Данная задача сбалансирована.
Исходные данные в матричной форме:
-
a1
a2
a3
a4
3820
3980
4640
4560
b1
3090
113
124
137
153
b2
3120
172
188
114
123
b3
3270
147
164
192
165
b4
3620
142
121
145
154
b5
3900
124
143
148
163
1.2 Целевая функция и критерий оптимизации
Транспортной задачей линейного программирования называется задача поиска минимума функции
при ограничениях:
если справедливо условие:
Построение опорного плана
2.1 Общий алгоритм построения опорного плана методом аппроксимации Фогеля.
Существует множество методом для составления опорного плана. Одним из них является метод аппроксимации Фогеля, основанный на концепции взыскания штрафов за выбор не оптимального с точки зрения транспортных издержек маршрута.
Алгоритм построения опорного плана методом аппроксимации Фогеля:
В каждой строке в таблице находим наименьшую стоимость и ближайшую к ней, определяем разность между ними и помещаем в столбец разности (1).
-
b1
b2
…
bn
a1
C11
C12
…
C1n
a2
C21
C22
…
C2n
(1)
…
…
…
…
…
am
Cm1
Cm2
…
cmn
(2)
I
В каждом столбце находим наименьшую стоимость и ближайшую к ней, определяем разность между ними и помещаем в строку разности (2). Таким образом, формируются столбец и строка разности, соответствующие одной итерации I.
В столбце и строке разности находим наибольшее значение и выделяем его.
В строке или столбце таблицы соответствующей найденной наибольшей разности находим наименьшую стоимость и помещаем туда максимально возможное количество продукции.
Далее повторяется пункт 1-4 для следующих итераций
Если вся продукция от поставщика вывезена, то соответствующая строка полностью исключается из расчета. Если потребитель полностью удовлетворен, то столбец полностью исключается из расчета.
Метод аппроксимации Фогеля содержит множество математических расчетов, более сложен к пониманию, но дает план, если не оптимальный, то очень близкий к нему.
2.2 Построение опорного плана методом аппроксимации Фогеля.
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
|
|
|
|
|
|
|
3820 |
3980 |
4640 |
4560 |
|
|
|
|
|
b1 |
3090
|
113 2730 |
124 360 |
137 - |
153 - |
11 |
11 |
11 |
24 |
|
b2 |
3120
|
172 - |
188 - |
114 - |
123 3120 |
9 |
|
|
|
|
b3 |
3270
|
147 1090 |
164 - |
192 740 |
165 1440 |
17 |
17 |
17 |
18 |
18 |
b4 |
3620
|
142 - |
121 3620 |
145 - |
154 - |
21 |
21 |
|
|
|
b5 |
3900
|
124 - |
143 - |
148 3900 |
163 - |
19 |
19 |
19 |
24 |
24 |
|
|
11 |
3 |
23 |
30 |
I |
|
|
|
|
|
|
11 |
3 |
8 |
1 |
|
II |
|
|
|
|
|
11 |
19 |
11 |
10 |
|
|
III |
|
|
|
|
11 |
|
11 |
10 |
|
|
|
IV |
|
|
|
23 |
|
44 |
2 |
|
|
|
|
V |
Найдем значение целевой функции:
Z=113*2730+124*360+123*3120+147*1090+192*740+165*1440+121*3620+
148*3900=2292020