1. Предположим, что помеха и смесь сигнала и по­мехи распределены по нормальному закону:

)= (8.12)

- exp[- ],

где = - дисперсия эффекта, соответствующего наличию помехи с дисперсией и сигнала с дисперсией , m_u - математическое ожидание вы­ходного эффекта при наличии полезного сигнала.

Такие распределения вероятностей являются типичными в системах обработки информации с интегрированием на их выходе за время, значительно превышающее интер­вал корреляции помех. Тогда в соответствии с (8.8) для вероятности ложных тревог будем иметь выражение:

, (8.13)

Решение которого дает Р_л.т =1-F( ) (8.14)

где F(∙) - известная функция Лапласа,

(8.15)

Из выражения (8.14) определяют пороговое значение сигнала: (8.16)

где функция F^-1(x) является обратной F(x), т.е. такой что если x¹=F(x), то x=F^-1(x’). Вероятность правильного обнаружения определяется на основании (8.8) и (8.12):

(8.17)

На основании (8.16) и (8.17) аналитическое выражение ВХО имеет вид: =F[ (8.18)

При пользовании таблицами и анализе аналитичес­ких выражений ВX0 следует учитывать, что наряду с функ­цией Лапласа, определяемой выражением (8.15), в лите­ратуре используют также и другие функции:

- интеграл вероятности

(8.19)

который также иногда называют функцией Лапласа;

-функцию вида

Ф( (8.20)

которую иногда называют нормированной функцией Лапла­са;

- функцию вида

)=2F(x (8.21)

которую называют интегралом вероятности, функцией ошибок, функцией Крампа, т.е. erfx=Ф^*(x)

Если, например, при выводе выражения для ВХО воспользоваться функцией, определяемой (8.10), то анало­гично (8.18) будем иметь:

= F[ (8.22)

При использовании функции (8.20) получим выражение:

=0,5+F[ (8.23)

2. Предположим, что помеха и смесь сигнала и по­мехи распределены по релеевскому закону:

(8.24)

Этот закон справедлив для структуры тракта обработки, включающего высокочастотный фильтр - линейный детектор интегратор, когда огибающая сигнала флюктуирует по релеевскому закону. Согласно (8.8) и (8.15) имеем:

(8.25)

Отсюда аналитическое выражение ВХО имеет вид:

(8.26)

Физическая сущность вероятности ложной тревоги состоит в том, что она определяет превышение напряже­нием помехи порогового уровня в течение определенного времени (времени реализации критерия обнаружения). В тракте обработки гидроакустических сигналов это время обратно пропорционально величине полосы пропускания. Если выбросы помехи пересекают пороговый уровень в те­чение времени t_k с интервалом T_k, как показано на Рис. 8.3, то для вероятности ложной тревоги справедли­во выражение

(8.27)

Допустимый интервал между ложными тревогами - время Т_л.т определяется требованиями потребителя и зависит от назначения ГАС, способа их использования

Рис. 8.3. К понятию физической сущности вероятности ложной тревоги

Так, напри­мер, среднее за единицу времени число выбросов огибающей нормаль­ного шума, превосходящих уровень u₀, определяется выражением

(8.28)

где коэффициент a зависит от структуры тракта обра­ботки и для идеального полосового фильтра равен .

С учетом (8.25), (8.26) выражение (4.28) используют также в виде:

(8.29)

При величине >2-3 выбросы огибающей становятся независимыми, и по величине можно определить средний период между ложными тревогами:

. (8.30)

На практике поток ложных тревог полагают пуассоновским и для вероятности получения k выбросов за время наблюдения T_н пользуются выражением:

(8.31)

Для вероятности получения числа тревог, меньшего m, пользуются выражением

(8.32)

Где - среднее число ложных тревог в единицу времени. При k=0

- (8.33)

Где T₀ – интерпретируется как среднее время, в течение которого с вероятностью Р(0) не произойдёт ни одной тревоги.

Вероятностные характеристики обнаружения многоканальных систем. Выше были рассмотрены характеристики обнаружения в случае воздействия на приемный тракт только одного сигнала, положение которого по простран­ству, частоте и времени было определенным. В реальных условиях на вход приемного устройства могут поступать сигналы от нескольких целей, положение которых по час­тоте и времени является различным. Кроме того, сигналы обладают неопределенностью положения и по направлению.

Обнаружение сигналов, обладающих неопределеннос­тью положения, осуществляется многоканальными системами. При этом опрос каналов (разрешаемых элементов) осуществляется во времени либо одновременно (в ГАС с веером статически сформированных характеристик направленности), либо последовательно, но за время существова­ния (во избежание пропуска) сигнала. Неопределенность сигнала по пространству и часто­те устраняется обнаружением его в специальных каналах, для которых характерно наличие независимых схем обра­ботки. ВХО таких каналов рассматривались выше. Неопределённость положения сигнала во времени устраняется этими же каналами за счёт выбора времени обзора элементов разрешения.

В современных ГАС процесс обнаружения объекта в подводной среде сопровождается оценкой его координат в трех-, четырехмерном пространстве измерений. Для этой цели все пространство измерений разделяют на элементы разрешения. Для гидролокатора с формированием ДН в горизонтальной плоскости и набором узко­полосных фильтров число таких элементов можно опреде­лить по формуле , где - число пространственных каналов, равное отношению пол­ного азимутального угла к разрешающей способности по азимуту (ширине ДН на уровне 0,7 по давлению); - число частотных каналов, равное отношению общей полосы частот к полосе одного фильтра; - число элементов разрешения по дистанции, равное отношению максимальной дальности, соответству­ющей циклу обзора, к разрешающей

способности по дис­танции , эквивалентной длительности сигнала. Таким образом, формула для подсчета числа элементов разрешения имеет вид

Рис. 8.4. Схема элементов разрешения гидролокатора

(8.34)

Очевидно, что параметры элементов разрешения определяются диаграммами неопределённости сигналов по измеряемым координатам, описываемым в п.3.4. При расчётах ВХО целей говорят об обнаружении «в точке», понимая под этим элемент разрешения. Полный же цикл обзора состоит в осмотре всех элементов разрешения. Нетрудно показать, что при вероятности ложной тревоги и независимости ложных тревог в различных элементов вероятность ложной тревоги за цикл связана с вероятностью ложных тревог «в точке» соотношением

(8.35)

При этом предполагается, что Р_л.т. во всех элементах является одинаковой. Если в k-м элементе она равна Р_л.т.к., то имеет место более общее соотношение

(8.36)

Или при условии, что

(8.37)

На практике поток ложных тревог полагают пуассоновским, и для вероятности того, что за время Т в одной ячейке появится k, k<m, k=0 тревог, пользуются выражениями (8.31-8.33). Для М-канальной системы эти формулы принимают следующий вид:

(8.38)

(8.39)

(8.40)

Эти соотношения позволяют решать целый ряд практических задач. Например, зная структуру тракта обработки и технические параметры каналов, можно по заданной Р_л.т. в элементе разрешения определить вероятность того, что в течение интервала Т ложных тревог будет: k, k<m, ни одной. Или при заданной Р_л.т. можно определить величину интервала Т, в течение которого с вероятностью Р ложных тревог будет k, k<m, ни одной.