1.2. Элементы кинематики материальной точки и

вращательного движения твердого тела

Кинематика изучает движение тел без учета причин, вызывающих это движение.

Динамика рассматривает движение тел в зависимости от причин, вызывающих это движение.

Рассмотрим произвольное криволинейное движение материальной точки, положение которой в пространстве определяется тремя координатами, которые в свою очередь являются функциями времени. Существует множество систем координат, однако мы будем пользоваться простейшей - трехмерной декартовой системой координат, представляющей собой три взаимно-ортогональные координатные оси - x, y и z (рис. 1-1).

Принято определять положение точки при помощи радиуса-вектора. Радиусом-вектором r (t) называется вектор, проведенный из начала координат в точку пространства, где в момент времени t находится материальная точка. Радиус-вектор выражается через координаты x, y и z следующим образом:

r(t) = ix + jy + kz,

где i, j и k - соответствующие орты, т.е. единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей.

Рис. 1-1

Геометрическими характеристиками движения являются траектория, путь, перемещение.

Траекторией называется пространственная кривая, которую описывает материальная точка, перемещаясь в пространстве.

Путь S - это расстояние, пройденное по криволинейной траектории из начальной точки 1, в которой материальная точка находилась в момент времени t, в положение 2. Этот путь она проходит за время t. (S - скалярная величина).

Перемещение - это вектор r, проведенный из точки 1 в точку 2.

Основные характеристики движения: скорость и ускорение.

Скорость характеризует быстроту перемещения материальной точки по траектории.

Средняя скорость:

. (1.1)

Мгновенная скорость:

(1.2)

Через проекции скорость выражается так:

.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. В общем случае скорость может изменяться как по абсолютной величине, так и по направлению. Изменение скорости по направлению характеризуется нормальным ускорением . Изменение скорости по абсолютной величине характеризуется тангенциальным или касательным ускорением . Мгновенное ускорение, т.е. ускорение в данный момент времени определяется как предел отношения приращения скорости к интервалу времени t , за который произошло это приращение:

. (1.3)

Пусть в точке 1 траектории скорость равна v₁, а в точке 2 – соответственно v₂ (рис. 1-2).

Рис. 1-2

Отложим на АС отрезок AF= v₁ и разобьем v на две составляющие:

. (1.4)

Тогда

, (1.5)

где

, а . (1.6)

Можно показать, что нормальная составляющая ускорения равна

(1.7)

и направлена по радиусу к центру кривизны в данной точке, а касательная составляющая ускорения равна

и характеризует изменение скорости по модулю.

Динамика изучает механическое движение тел и связь основных кинематических параметров движения с причинами, вызывающими это движение, т.е. с силами. Основные принципы механики сформулированы Ньютоном в виде трех законов.

Первый закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета, относительно которых все тела, не взаимодействующие с другими телами, движутся равномерно и прямолинейно.

Этот закон называется законом инерции. Он устанавливает существование инерциальных систем отсчета, в которых выполняются второй и третий законы. Инерциальных систем отсчета может быть бесчисленное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью, также является инерциальной системой.

Основой динамики является второй закон Ньютона, который формулируется следующим образом:

Если на тело действует сила, то тело приобретает ускорение, прямо пропорциональное этой силе и обратно пропорциональное массе тела:

. (1.8)

Второму закону Ньютона можно придать иной, более общий вид, введя понятие импульса тела (или материальной точки):

. (1.9)

Это векторная величина, совпадающая по направлению с направлением вектора скорости. Она имеет еще одно название - количество движения.

Тогда

. (1.10)

В классической механике считается, что масса тела не зависит от его скорости. Поэтому можно массу внести под знак производной. Выражение (1.10) приобретает вид:

. (1.11)

В таком виде этот закон выражает зависимость скорости изменения импульса тела от силы, приложенной к этому телу. Этот закон можно назвать законом изменения импульса:

. (1.12)

Закон изменения импульса может быть записан иначе:

. (1.13)

Слева в этом выражении стоит изменение импульса за бесконечно малое время dt. Выражение Fdt в правой части (1.13) называется импульсом силы, действующей на тело за это же время.

Третий закон формулируется следующим образом:

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, находящиеся в равновесии, равны по величине и противоположны по направлению (рис.1-3), т.е. .

Рис. 1-3

Одним из наиболее важных законов механики является закон сохранения импульса. Рассмотрим закон сохранения импульса применительно к системе тел. Под системой тел понимается совокупность взаимодействующих тел, движение которых рассматривается совместно и одновременно.

Импульсом системы p_с называется векторная сумма импульсов N тел или N материальных точек, составляющих механическую систему:

. (1.14)

Силы взаимодействия между телами, составляющими систему, называются внутренними силами. Силы, действующие со стороны тел, не входящих в данную систему, называются внешними силами.

Система называется замкнутой или изолированной, если действием на нее внешних сил можно пренебречь по сравнению с внутренними силами.

Для получения закона изменения импульса системы тел возьмем производную по времени от импульса системы p_с:

. (1.15)

Последний член в этом выражении содержит только сумму внешних сил, приложенных к телам системы.

На изолированную систему внешние силы не действуют и поэтому:

и ,

что, в свою очередь означает, что импульс замкнутой системы тел сохраняется постоянным во времени при любых процессах, происходящих в этой системе:

или: . (1.16)

Это и есть закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек.