5

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

Профессионального образования

«Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Кафедра «Инженерная графика»

КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине «Начертательная геометрия»

2006

Содержание разделов дисциплины

Раздел 1 виды проецирования

Лекция 1.1 Предмет начертательной геометрии. Метод проекций. Способы проецирования. Центральное, параллельное, ортогональное проецирование, их свойства. Образование двухкартинного и трехкартинного комплексного чертежа Монжа. Конкурирующие точки.

Лекция 1.2. Аксонометрические проекции. Образование и классификация видов аксонометрии. Прямоугольная изометрия и диметрия. Показатели искажения. Аксонометрическая проекция окружности.

Раздел 2 ортогональные проекции геометрических объектов

Лекция 2.1 Прямая линия. Инцидентность (взаимопринадлежность) точки прямой. Следы прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение двух прямых. Проекции прямого угла. Определение длины отрезка.

Лекция 2.2. Плоскость. Инцидентность точки прямой, плоскости. Следы плоскостей. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Параллельность и пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей.

Лекция 2.3. Кривые линии. Поверхности. Образование и задание, определитель, каркас, классификация, очерк. Инцидентность точки линии, поверхности. Поверхности вращения. Линейчатые поверхности. Винтовые поверхности. Циклические поверхности.

Раздел 3 метрические задачи и способы преобразования чертежа

Лекция 3.1 Перпендикулярность прямых и плоскостей. Преобразование чертежа. Основные задачи преобразования. Замена плоскостей проекций. Плоскопараллельное перемещение.

Раздел 4 обобщенные позиционные задачи

Лекция 4.1 Пересечение поверхности с линией (плоскости с прямой). Общий алгоритм решения. Пересечение поверхности с плоскостью. ГОСТ 2.305-68 – Изображения – виды, разрезы, сечения.

Лекция 4.2 Пересечение поверхностей. Общий алгоритм решения, способы решения. Построение способом посредников-плоскостей. Пересечение гранной поверхности с криволинейной.

Лекция 4.3 Соосные поверхности. Построение линии пересечения поверхностей способом концентрических и эксцентрических сфер.

Лекция 4.4 Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.

Лекция 4.5 Касательные линии и плоскости к поверхности. Развёртки поверхностей. Основные свойства развёртки поверхностей. Способы построения разверток.

Лекция 1.1

Способы проецирования

При помощи чертежей, то есть при помощи изображений на плоскости, изучаются пространственные формы предметов и соответствующие геометрические закономерности. Разработкой способов построения чертежей занимается начертательная геометрия. Её предметом является также изучение способов решения и исследования пространственных задач.

Поэтому к чертежам предъявляется ряд требований, наиболее существен­ными из которых являются следующие:

1. Чертёж должен быть наглядным, т.е. он должен давать пространственное представление изображаемого предмета.

2. Чертёж должен быть обратимым, т.е. таким, чтобы по нему можно было точно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета.

3. Чертёж должен быть достаточно простым с точки зрения его графического выполнения.

4. Графические операции, выполняемые на чертеже, должны давать достаточно точные решения.

Для всех видов технических чертежей требование "обратимости" является особенно важным, т.к. чертёж есть производственный документ, по которому выполняется то или иное изделие. Поэтому необходимо, чтобы по чертежу можно было точно установить форму и размеры будущего изделия, а также не­которые другие данные о нём. Чертёж по определению Гаспара Монжа (1746-1818), французского учёного и инженера, одного из создателей начертательной геометрии, является "языком техника".

Для того, чтобы изображение предмета на плоскости позволяло точно определить его геометрическую фигуру, необходимо строить это изображение (чертёж) по определённым геометрическим правилам, позволяющим от плоских и, следовательно, искажённых форм на чертеже переходить к натуральным пространственным формам изображаемого предмета.

Такое геометрически закономерное изображение пространственного предмета на плоскости достигается при помощи метода проецирования, кото­рый является основным методом в начертательной геометрии.

Чертежи, построенные по методу проецирования, называются проекцион­ными.

Начертательная геометрия является той научной дисциплиной, которая помогает развитию пространственных представлений, необходимых не только в технике, но и вообще в практической жизни человека.

Центральное проецирование

П усть имеем в пространстве плоскость ′, которую будем называть плос­костью проекций (рисунок 1). Выберем некоторую точку S, не лежащую на плоско­сти проекций. Эту точку будем называть центром проецирования.

Рисунок 1 - Центральное проецирование

Для проецирования точки А пространства на плоскость ' надо провести через эту точку и центр проекций S прямую. Такая прямая называется проеци­рующей прямой. Находим затем точку пересечения проецирующей прямой SA с плоскостью проекций ′. Полученную точку пересечения А′ будем называть центральной проекцией данной точки А на плоскость П'.

В том случае, если точка А совпадает с центром проекций S, становится неопределённой не только проецирующая прямая, но и проекция точки на плоскость П ′.

Таким образом, центр проекций S является исключительной точкой, не имеющей проекций.

Центральной проекцией прямой линии является прямая линия. Пусть тре­буется спроецировать центрально данную прямую АВ в соответствии с рисунком 1. Проецирующие прямые SA и SB определяют на плоскости П′ проекции А′ и В′ соответственно точек А и В. Для любой другой точки Е прямой АВ проецирующая прямая SЕ опре­деляет проекцию Е′. Все проецирующие прямые лежат в одной и той же (проецирующей) плоскости SAB. Поэтому все проекции точек данной прямой лежат на линии пересечения проецирующей плоскости SAB с плоскостью про­екций П′_.

Если данная прямая проходит через центр проекций S, т.е. сама является проецирующей линией, то она проецируется на плоскость П′ в виде точки . Так, все точки прямой SA (рисунок 1) проецируются на плоскость П′ в одну и ту же точку А′. Например, точка С прямой SA даёт проекцию С′, совпадающую с А′.

Для построения проекций прямой линии достаточно построить проекции двух её точек. Это показывает, что для построения проекций фигуры не всегда необходимо проецировать все её точки. Например, для определения проекции треугольника достаточно построить проекции трёх его вершин.

Изображение предметов при помощи центрального проецирования от­личается большой наглядностью. Объясняется это устройством зрительного ап­парата человека, который с некоторым приближением можно считать работаю­щим по принципу центрального проецирования.

Параллельное проецирование

Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость. В этом отношении центрально проекционные чертежи не являются наиболее удобными. Поэтому большим распространением пользуется способ параллельного проециро­вания для построения изображений пространственных фигур.

З адаём некоторую плоскость П′, являющуюся плоскостью проекций, и направление проецирования s, не параллельное плоскости проекций П′ в соответствии с рисунком 2. Для проецирования какой-либо точки А пространства проводим через неё про­ецирующую прямую АА′, параллельную направлению проецирования s. Точка пересечения А′ проецирующей прямой с плоскостью П′ является параллельной проекцией точки А на плоскость П′_..

Рисунок 2 – Параллельное проецирование

На рисунке 2 изображена операция параллельного проецирования отрезка АС. Проецирующие линии всех точек этого отрезка лежат в одной (проецирующей) плоскости. Поэтому проекцией отрезка АС является отрезок А'С' прямой линии. Это свойство общее для центральной и параллельной про­екций.

Рассмотрим некоторые свойства параллельного проецирования, которых не имеет центральная проекция.

1. Прямые, параллельные в пространстве (в общем случае) проецируются в виде прямых, параллельных на плоскости проекций П′.

Пусть имеем прямые АВ и CD, параллельные в пространстве (рисунок 3).

4

Рисунок 3 - Параллельная проекция параллельных в пространстве прямых

Построив для прямых АВ и CD проецирующие плоскости AА′В′B и CС′D′D, заметим, что эти плоскости параллельны, как плоскости, имеющие уг­лы с соответственно параллельными сторонами (AB||CD; BВ′DD′). Поэтому проецирующие плоскости пересекают плоскость проекций П' по двум парал­лельным между собой прямым.

2. Отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, со­храняется в параллельной проекции.

Пусть АВ и CD - отрезки, лежащие на параллельных прямых. Построим их проекции на плоскость П′ при направлении проецирования s (рисунок 3). Про­ведём в проецирующих плоскостях отрезки А′В1 и С‘D1, соответственно парал­лельные и равные отрезкам АВ и СД. Треугольники А′В′B1 и С′D′D1 являются подобными, т.к. их соответственные стороны параллельны. Отсюда

В частном случае данные отрезки АВ и CD могут оказаться лежащими на одной прямой, однако это не изменит рассуждения.

Если при этом концы двух отрезков совпадают, т.е. имеем отрезки АВ и ВС в соответствии с рисунком 4, то вышеприведённое соотношение примет вид

Отсюда следует, что отношение, в котором точка В делит отрезок АС. со­храняется в проекции для точки В′, делящей отрезок А'С′.

Рисунок 4 – Деление отрезка в заданном соотношении при параллельном проецировании

3. Отношение проекции отрезка А'В' к натуральному отрезку постоянно для всех параллельных между собой отрезков.

П олученная выше пропорция

после перестановки крайних членов имеет вид

Постоянное отношение u называется показателем искажения для отрезков данного направления

Ортогональное проецирование

Параллельное проецирование называется ортогональным (прямоугольным), если направление проецирования s перпендикулярно к плос­кости проекций П′ (sП’).

В ортогональной проекции очень просто устанавливать соотношение ме­жду длиной натурального отрезка и длиной его проекции.

Пусть отрезок АВ образует с плоскостью проекций П' угол  (рисунок 5). Проведём AВ1 параллельно АВ. Тогда

А'В'=А'В1 cos =АВ cos 

Большое распространение ортогональные проекции получили в тех­нических чертежах, т.к. позволяют особенно легко судить о размерах изобра­жаемых предметов.

Рисунок 5 – Ортогональное проецирование

Образование двух- и трёхкартинного комплексного чертежа Монжа

Наиболее употребительным в практике является метод комплексного чертежа в ортогональных проекциях. Комплексным чертежом называется чертёж, состоящий из нескольких связанных между собой проекций изображаемой фигуры. Метод комплексного чертежа в ортогональных проекциях называется также методом Монжа.

Этот метод прост в построении и даёт большую точность при графическом решении задач. Он обеспечивает точное определение изображённой фигуры по чертежу. Недостатком метода является малая наглядность изображений.

Комплексный чертёж из двух проекций называется также двухкартинным чертежом.

Рассмотрим неподвижную систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей П₁ и П₂ в соответствии с рисунком 6. Плоскость П₁, расположенная горизонтально, называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П₂, перпендикулярная к П₁, занимает вертикальное положение и расположена перед наблюдателем. Эту плоскость называют фронтальной плоскостью проекций. На обе эти плоскости будем проецировать ортогонально точки пространства.

Предположим, что в пространстве имеется некоторая точка А. Ортого­нальную проекцию А₁ точки А на плоскость П₁ будем называть горизонтальной проекцией точки А, а ортогональную проекцию А₂ точки А на плоскость П₂ -фронтальной проекцией точки А. Прямые АА₁ и АА₂, при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций (AА₁П₁, AА₂П₂), называются проецирующими прямыми (AА₁ - горизонтально проецирующая прямая, АА₂ -фронтально проецирующая прямая). Прямая пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Её обозначают буквой X.

Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют проеци­рующей плоскостью (плоскость, перпендикулярная к плоскости П₁, называется горизонтально проецирующей плоскостью, а плоскость, перпендикулярная к плоскости П₂, - фронтально проецирующей плоскостью).

Плоскость АА₁А₂ проходит через прямую АА₁, перпендикулярную к плоскости П₁, в силу чего она перпендикулярна к плоскости П₁. Аналогично плоскость АА₁А₂ перпендикулярна плоскости П₂. Следовательно, дважды про­ецирующая плоскость АА₁А₂ перпендикулярна к оси проекций X.

Точку пересечения плоскости АА₁А₂ с осью проекций х как точку, при­надлежащую одновременно обеим плоскостям П₁ и П₂, обозначим А₁₂. Прямые A₁₂А₁ и А₁₂А₂, лежащие в плоскости АА₁А₂, перпендикулярной к оси проекций х, перпендикулярны к этой оси. Обратно, пусть А₁₂ - произвольная точка оси проекций х. Восставим из точки А₁₂ к оси два перпендикуляра: один в плоскости П₁, другой в плоскости П₂.

Рисунок 6 – Ортогональное проецирование точки

Тогда каждая пара точек А₁ и А₂, лежащих на этих перпендикулярах, оп­ределит в пространстве единственную точку А. Действительно, две пересекаю­щиеся прямые А₁₂А₁ и А₁₂А₂ определяют плоскость А₁А₁₂А₂, перпенди­кулярную к оси проекций х (так как А₁₂А₁х и А₁₂А₂х). Но плоскость, пер­пендикулярная к линии х пересечения двух плоскостей П1 и П₂, перпенди­кулярна к каждой из этих плоскостей, т.е. плоскость А₁А₁₂А₂ является проеци­рующей по отношению к обеим плоскостям проекций. Следовательно, перпен­дикуляры, восставленные в точках А₁ и А₂ соответственно к плоскостям П₁ и П₂, лежат в одной плоскости (в плоскости А₁А₁₂А₂). Точка А их пересечения и является искомой точкой пространства, определяемой данной парой точек Итак, каждой точке А соответствует пара её проекций А₁ и А₂, лежащих вместе с данной точкой А в одной плоскости, перпендикулярной к обеим плос­костям проекций П₁ и П₂, а следовательно, и к линии х их пересечения; обрат­но, любые две точки А₁П₁ и А₂П₂, лежащие в одной плоскости, перпенди­кулярной к оси х, определяют в пространстве единственную точку А.

Расстояние А₁А точки А от горизонтальной плоскости проекций называ­ется высотой точки А, а её расстояние А₂А от фронтальной плоскости проекций - глубиной точки А.

Для получения плоского чертежа совмещаем плоскость проекций П₁ с плоскостью П₂ путем вращения плоскости П₁ вокруг оси X в направлении, ука­занном на рисунке 6 стрелками, так, чтобы передняя полуплоскость П₁ совмести­лась с нижней полуплоскостью П₂. В результате получим комплексный чертёж точки А (рисунок 7), состоящий из двух проекций А₁ и А₂ точки А. Обе проекции А₁ и А₂ лежат на одном перпендикуляре к оси проекций х, которую как прямую, принадлежащую одновременно обеим плоскостям проекций П₁ и П₂, будем обозначать на комплексном чертеже х₁₂. Два перпендикуляра А₁₂А₁ и А₁₂А₂ к оси х₁₂ имеют общую точку А₁₂. Прямая А₁А₂, соединяющая две проек­ции точки на комплексном чертеже, называется линией связи. Линия связи двух проекций точки перпендикулярна к оси проекций.

П РИМЕЧАНИЕ: контуры плоскостей проекций на комплексном чертеже не показывают.

Рисунок 7 – Комплексный чертёж точки

Плоскости проекций разбивают всё пространство на четыре части, назы­ваемые квадрантами или четвертями. Принято нумеровать квадранты в порядке, указанном на рисунке 8, и называть их I, П, Ш, IV квадрантами.

Рисунок 8 – Квадранты пространства

Если точка лежит в I квадранте, то её горизонтальная проекция А₁, будет принадлежать передней полуплоскости П₁, а фронтальная проекция А₂ - верх­ней полуплоскости П₂. При совмещении плоскостей проекций горизонтальная проекция А₁ точки А, лежащей в I квадранте, окажется расположенной ниже оси x₁₂ в соответствии с рисунком 9.

В зависимости от положения натуральных (проецируемых) точек в раз­личных квадрантах пространства будем иметь соответствующее рас­положение их проекций на комплексном чертеже в соответствии с рисунком 9, так же как и обрат­но: по расположению проекций можно судить о том, в каком квадранте лежит натуральная точка.

Рисунок 9 – Комплексный чертёж точек, расположенных в разных квадрантах

Двухкартинный чертёж является метрически определённым чертежом. Однако, в силу трёхмерности пространственной фигуры её комплексный чертёж становится более ясным, когда, помимо двух основных проекций, дана ещё од­на проекция на третью плоскость. В качестве такой плоскости проекций чаще всего применяют профильную плоскость проекций П₃ (рисунок 10).

П₃х, поэтому П₃П₁ и П₃П₂. Три плоскости проекций (П₁, П₂, П₃) об­разуют в пространстве прямоугольный трёхгранник, т.е. систему трёх взаимно перпендикулярных плоскостей. Ребра трёхгранника обозначим через х, y, z.

Пусть А - некоторая точка пространства. Для определения положения точки А относительно системы плоскостей (П₁, П₂, П₃) опустим из точки А пер­пендикуляры на плоскости проекций: AA_iП_i (i=l, 2, 3). Основания этих пер-пендикуляров (точки А₁, А₂, А₃) и являются соответственно горизонтальной, фронтальной и профильной проекциями точки А в системе плоскостей проек­ций (П₁, П₂, П₃). Проецирующие плоскости AA₁A₂, AA₁A₃ и АА₂А₃ перпенди­кулярны соответственно к осям х, у, z. Обозначим точки пересечения этих плоскостей с осями через А₁₂, А₁₃, А₂₃. Как прямые A₁A₁₂ и A₁₂A₂ перпенди­кулярны к оси x, так и две другие пары прямых A₁A₁₃, A₁₃A₃ и А₂А₂₃, А₂₃А₃ должны быть перпендикулярны соответственно к осям y и z. Расстояние точки А от профильной плоскости проекций П₃ называется широтой точки А.

Рисунок 10 – Трёхкартинный чертёж точки

Итак, A₁A=A₁₂A₂=A₁₃A₃ - высота, А₂А=А_]2А₁=А₂₃A₃ - глубина, АзА=А₂₃A₂=A₁₃A₁ - ши­рота точки А.

При построении плоского чертежа плоскость П₂ считается неподвижной, а плоскости П₁ и П₃ совмещаются с ней путём вращения соответственно вокруг осей х и z в направлении, в соответствии с рисунком 1.10. После совмещения плоскости П₁ с фронтальной плоскостью П₂ отрезки А₁А₁₂ x₁₂ и А₁₂А₂x₁₂ окажутся расположенными на одной прямой. Аналогично после совмещения плоскости П₃ с плоскостью П₂ отрезки А₂А₂₃z₂₃ и А₂₃А₃z₂₃ расположатся на линии связи А₂А₃z₂₃.

Рисунок 11 – Трёхпроекционный комплексный чертёж точки

В результате указанного совмещения плоскостей проекций получаем комплексный чертёж точки А в трёх ортогональных проекциях. При этом линии связи должны быть перпендикулярны к осям А₁А₂x₁₂, А₂А₃z₂₃, а

отрезки А₁₂А₁ и А₂₃А₃ равны, так как А₁₂А₁₌А₂₃А₃=А₂А (рисунок 11) есть глубина точки А.

Рассмотрим квадрат А₁₃O₁₂₃А₃₁А₀. Диагональ этого квадрата является биссектрисой угла (Х₁₂Z_23). Следовательно, линия связи, соединяющая проекции А₁ и А₂, представляет собой ломаную линию с вершиной на биссектрисе К₁₂₃ угла (X₁₂Z₂₃), состоящую из двух звеньев (горизонтального и вертикального). Часть этой ломаной заменяют иногда дугой окружности.

Таким образом, линии связи устанавливают на трёхкартинном чертеже следующим образом: А₁А₂ – вертикальная линия связи; А₂А₃ – горизонтальная линия связи; А₁А₃ – горизонтально-вертикальная линия связи; биссектриса К₁₂₃ – геометрическое место вершин ломаных линий связи в соответствии с рисунком 12.

Рисунок 12 – Линии связи на проекционном чертеже

Прямая К₁₂₃ определяется заданием трёх проекций какой-либо точки, например, точки А (А₁А₂А₃), и является постоянной прямой комплексного чертежа.

Рассмотрим трёхгранник, образованный системой плоскостей проекций (П₁,П₂,П₃). На осях x, y, z установим единицу измерения е. За начало отсчёта примем точку О пересечения трёх плоскостей проекций (вершину трёхгранника). Положительное направление на каждой оси установим, как показано на рисунке 13. Тогда трёхгранник Оxyz можно рассматривать как прямоугольную декартову систему координат с координатными осями: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат, Оz – ось аппликат с координатными плоскостями хОyП₁, хОzП₂, yОzП₃.

Рисунок 13 – Прямоугольная система координат в пространстве

Точку А(x_A, y_A, z_A) по данным координатам х_А,,y_A,z_A строят следующим образом: пользуясь единицей длины е, строим отрезок АА₁₂, затем отрезок А₁₂А₁, параллельный оси у, и отрезок А₁А, параллельный оси z. В результате получаем точку А(х_А, у_А, z_А).

На чертежах, применяющихся в технике, оси проекций обычно не показывают. Это означает, что плоскости проекций могут перемещаться параллельно самим себе. Однако, и при отсутствии на чертеже осей всегда можно определить по данным двум проекциям точки третью её проекцию, если на чертеже имеются три проекции хотя бы одной точки. Это достигается при помощи постоянной прямой k чертежа, являющейся биссектрисой угла, образованного ломаной линией связи в соответствии с рисунком 14. Например, известно расположение трёх проекций точки А. Это позволяет определить постоянную k₁₂₃ как биссектрису угла А₁А₀А₃. В результате линии связи становятся вполне определёнными и по каждым двум проекциям точки может быть построена третья её проекция. На рисунке 14 такое построение выполнено для точки В.

Рисунок 14 – Безосный комплексный чертёж точки

Конкурирующие точки

Точки, расположенные в пространстве на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. Они проецируются на соответствующую плоскость проекций в одну точку в соответствии с рисунком 15. Так, А и В – горизонтально конкурирующие точки; С и D – фронтально конкурирующие точки; Е и F – профильно конкурирующие точки.

Для увеличения наглядности чертежа прибегают к некоторой условной видимости. Её можно определить с помощью конкурирующих точек. Будем считать, что направление лучей зрения совпадает с направлением проецирующих линий. Вопрос о видимости точек А и В на горизонтальной проекции решается следующим образом: видна та точка, высота которой больше.

Рисунок 15 – Конкурирующие точки

Рисунок 16 – Комплексный чертёж конкурирующих точек

В соответствии с рисунком 16 фронтальная проекция показывает, что точка А расположена выше, чем точка В. Аналогичный критерий видимости применяют к точкам С и D, и к точкам E и F. Так , точки С и D сравнивают по глубине, а точки Е и F – по широте.

Лекция 1.2

Аксонометрические проекции. Образование и классификация видов

аксонометрии

Способ получения однопроекционного обратимого чертежа называется аксонометрическим. Он даёт более наглядное изображение объекта.

Аксонометрический чертёж состоит только из одной параллельной проекции данного объекта, дополненной проекцией пространственной системы координат, к которой предварительно отнесён изображаемый объект.

Выберем в пространстве некоторую прямоугольную систему осей координат Оxyz (натуральную систему) и точку А, жёстко связанную с этой системой. Отложим на каждой из осей координат отрезок е, который назовём натуральным масштабом, и обозначим полученные отрезки соответственно через е_х, е_y, е_z в соответствии с рисунком 17.

Измерив расстояние точки до координатных плоскостей единичным отрезком е, получим три натуральные координаты точки, которые определяют её положение относительно данной системы координат.

Спроецируем параллельно по заданному направлению s точку А вместе с системой отнесения на некоторую плоскость П, которая называется аксонометрической (картинной) плоскостью проекций. Тогда О x y z – аксонометрическая система координат; проекции единичных отрезков на оси Ox, Oy, Oz, обозначенные через е’_х, е’_y, e’_z – аксонометрические масштабы; А – аксонометрическая проекция точки А; А₁ – аксонометрическая проекция проекции точки А на координатную плоскость хОу, она называется вторичной проекцией.

В зависимости от направления проецирования получают параллельную косоугольную или прямоугольную аксонометрию.

Положение точки А относительно системы координат Охуz определяется её натуральной координатной ломаной ОА_хА₁А. Зная натуральные единичные отрезки, определим натуральные координаты точки А:

П ри параллельном проецировании величины отношений отрезков прямой сохраняются, поэтому

Основное свойство аксонометрических проекций: аксонометрические координаты точки, измеренные аксонометрическими масштабами, численно всегда равны координатам точки.

Рисунок 17 – Аксонометрический чертёж

Аксонометрические проекции принято подразделять на триметрические, когда все три аксонометрических масштаба различны, диметрические, когда равны два из них, и изометрические, когда все три масштаба одинаковы.

Для большего удобства построений в аксонометрии вводится понятие показателей искажения. Показателем искажения называют отношение аксонометрического масштаба к соответствующему натуральному.

Обозначив через p показатель искажения по оси Ох, через q – показатель искажения по оси Оy и через r – показатель искажения по оси z, можно написать:

Триметрические проекции: prq, диметрические проекции: p=rq, изометрические проекции: p=r=q.

Показатели искажения в косоугольной аксонометрии связаны следующей зависимостью:

p²+q²+r²=2+ctg²,

где  - угол наклона направления проецирования к плоскости проекций П.

Так как обычно мы рассматриваем предметы, расположенные прямо перед глазом, то прямоугольная (ортогональная) аксонометрия в большей степени, чем косоугольная, удовлетворяет условию наглядности изображения. В прямоугольной аксонометрии угол =90º, ctg=0, тогда зависимость показателей искажения следующая:

p²+q²+r²=2.

Прямоугольная изометрия и диметрия. Показатели искажения

Из частных видов аксонометрических проекций, предусмотренных государственным стандартом, чаще всего используют ортогональную изометрию, и ортогональную диметрию.

1. Ортогональная изометрия.

В изометрии показатели искажения по всем трём осям одинаковы, т.е.

p=q=r. Аксонометрические оси в ортогональной изометрии образуют между собой углы по 120º (рисунок 18).

В ортогональной изометрии 3р²=2 или p=q=r=0,82. На практике для удобства построения пользуются приведённой ортогональной изометрией, в которой показатели искажения приводятся к единице, т.е. p=q=r=1. При этом коэффициент приведения будет равен m=1/p=1,22. Это означает, что приведённая ортогональная изометрия даёт увеличение изображения приблизительно в 1,22 раза, т.е. масштаб такого изображения будет M 1,22:1.

Рисунок 18 – Оси ортогональной изометрии

2. Ортогональная диметрия.

В то время, как ортогональная изометрия существует только одна, ортогональных диметрий можно построить бесчисленное множество. Наиболее простую и распространённую диметрию получают, если p=r и q=p/2.

В ортогональной диметрии , откуда

Тогда p=r=0,94; q=0,47.

В приведённой ортогональной диметрии показатели искажения будут p=r=1 и q=0,5. При этом коэффициент приведения равен: m=1/p=1,06.

Это означает, что приведённая ортогональная диметрия даёт изображение в масштабе М 1,06:1. Расположение осей определяется с помощью тангенсов углов наклона осей к горизонтальной линии. Отсюда следующий способ построения аксонометрических осей в ортогональной диметрии (рисунок 19).

Ч ерез точку О проводим вспомогательную прямую, перпендикулярную к выбранной оси z. В обе стороны от точки О откладываем на этой прямой по восемь произвольных, но равных между собой отрезков. В направлении, противоположном положительному направлению оси z, откладываем от левой конечной точки один такой же отрезок, а от правой конеч-

Рисунок 19 – Оси ортогональной диметрии

ной точки - семь отрезков. Соединив полученные точки с точкой О, получим аксонометрические оси x и y.

Аксонометрическая проекция окружности

Аксонометрической проекцией окружности является эллипс. Построение эллипсов, изображающих окружности, расположенные в координатных плоскостях или в плоскостях, им параллельных, производится следующим образом.

Малые оси эллипсов параллельны аксонометрическим осям, перпендикулярным тем плоскостям проекций, в которых окружности располагаются, а большие оси им перпендикулярны. Величины больших осей всех трёх эллипсов, изображающих окружности, расположенные в координатных плоскостях или в плоскостях, им параллельных, равны в приведённой изометрии 1,22d (d – диаметр окружности). Малые оси эллипсов равны 0,71d. Построение эллипсов показано на рисунке 20.

В ортогональной приведённой диметрии большая ось каждого из трёх эллипсов равна 1,06d. Малые оси эллипсов как аксонометрических проекций окружностей, расположенных в координатных плоскостях хОу и уОz, равны 0,35d. Для координатной плоскости хОz величина малой оси равна 0,95d. Построение эллипсов соответствует рисунку 21.

Рисунок 20 – Ортогональная приведённая изометрия окружности

Рисунок 21 – Ортогональная приведённая диметрия окружности

Лекция 2.1

Изображение прямой линии на комплексном чертеже

Проекцией прямой линии как совокупности проекций всех её точек является прямая линия. Следовательно, пространственная прямая определяется на двухкартинном комплексном чертеже парой своих проекций.

В начертательной геометрии различают прямые общего и частного положения. Прямые, наклонённые ко всем плоскостям проекций, называются прямыми общего положения (прямая l на рисунке 22). Прямые, перпендикулярные либо параллельные плоскости проекций, называются прямыми частного положения (прямые i, q, p’, h, f, p в соответствии с рисунком 22).