10.1. Кінематичні рівняння руху

Пласко паралельним називається такий рух твердого тіла, при якому кожна його точка рухається в одній і тій площині, парале­льній деякій нерухомій площині.

Прикладом тіла, що здійснює плоскопаралельний (плоский ) рух може служити циліндр, що котиться по горизонтальній площині (рис. 10.1). Всі точки циліндра переміщуються у площинах, паралель­них площині Oyz . Окремі ланки більшості існуючих механізмів здій­снюють плоскопаралельний рух.

Рис. 10.1 Рис. 10.2

Розглянемо довільний плоскопаралельний рух твердого тіла. Нехай всі точки тіла переміщуються у площинах, паралельних неру­хомій площині Оху . Пересічемо тіло площиною Р , паралельною нерухомій площині. З визначення плоского руху і властивостей твер­дого тіла випливає, що будь-яка пряма АВ , проведена в тілі перпен­дикулярно площині Оху, буде переміщуватись поступально, тобто траєкторії, швидкості і прискорення всіх точок цієї прямої будуть од­наковими. Таким чином, для визначення руху тіла необхідно знати рух лише однієї точки на кожній прямій, проведеній перпендикулярно площині Оху . Вибравши точки в одній площині, паралельній площи­ні Оху , ми можемо стверджувати, що плоский рух тіла повністю ви­значається рухом плоскої фігури, одержаної від перетину тіла будь-якою площиною, паралельною площині Оху . Тому в подальшому ми будемо зображати тільки плоску фігуру - переріз тіла і вивчати рух точок тіла цього перерізу у своїй площині.

В свою чергу, положення плоскої фігури в своїй площині, по­вністю визначається положенням двох яких-небудь її точок, напри­клад. А і В , отже відрізком АВ .

Розглянемо плоский рух фігури S у своїй площині (рис. 10.2).

Початок рухомої системи координат Аxy , яка рухається по­ступально відносно нерухомої Ох₁у₁ , помістимо в довільну точку фі­гури А , яку в подальшому будемо називати полюсом.

Рис. 10.2

Рух плоскої фігури буде визначено, якщо будуть задані: функції часу координати точки А(х_1А,у_1А} і кут повороту плоскої фігури навколо точки А :

(10.1)

Ці співвідношення являють собою кінематичні рівняння твер­дого тіла, що здійснює плоскопаралельний рух.

Таким чином, плоский рух твердого тіла має три ступені віль­ності, оскільки рух тіла визначається трьома незалежними параметра­ми х_1Aу_1А і і .

10.2 Швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі

Нехай В - довільна точка плоскої фігури. Радіус-вектор визначаючий її положення відносно нерухомої системи координат Ox₁y₁ (рис. 10.3), можна задати з допомогою двох векторів:

Рис. 10.3

Диференціюючи це рівняння за часом, одержимо:

^(10.2)

Зазначимо, що , а вектор для спостерігача, що знаходиться в системі координат Аху, цей вектор визначає швидкість точки. Введемо для неї позначення: .

Однак, рух тіла відносно цієї системи координат являє собою обертання тіла навколо нерухомої осі Az , направленої перпендикуля­рно площині рисунка (рис. 10.3) до читача, тобто швидкість, є швид­кість точки В при обертанні тіла навколо осі Az. Для визначення цієї швидкості була одержана формула (8.13), яка записується у вигляді:

де - миттєва кутова швидкість обертання фігури навколо полюса А (навколо осі az ).

Формула (10.2) прийме тепер вигляд

(10.3)

Покажемо, що кутова швидкість обертання фігури не залежить від вибору полюса.

Нехай А і В - дві будь-які точки плоскої фігури. Для визначення швидкостей цих точок можна скористатись формулами (10.3):

Склавши обидві рівності, одержимо:

Замітимо, що вектор перпендикулярний до площини фігури, тобто кут між цим вектором і вектором дорівнює 90°, тому одержана рівність може виконуватись в єдиному випадку, коли . Таким чином, немає необхідності надалі зберігати індекс полюса в позначенні вектора кутової швидкості, тобто

Звідси формула (10.3) може бути записана у вигляді

(10.4)

тобто, швидкість будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометрич­ній сумі швидкості полюса і швидкості точки при обертанні плоскої фігури навколо полюса.

Так як , то величина швидкості обертання точки В навколо полюса дорівнює:

(10.4а)

так як вектор - миттєва кутова швидкість обертання фігури направлений перпендикулярно до площини рисунка.

Відмітимо, що вектор перпендикулярний також до АВ . Направлення обертання плоскої фігури навколо полюса залежить тіль­ки від знаку проекції кутової швидкості на вісь Az . Так як , то при обертання проходить проти часової стрілки і при - за часовою стрілкою.

На рис. 10.4 а і б показано як, знаючи швидкість точки А , мож­на знайти швидкість точки В при і .

Рис. 10.4

З рівності (10.4) витікає одна корисна теорема

Теорема

При плоскому русі проекції швидкостей двох будь-яких точок плоскої фігури на вісь, що проходить через ці точки, рівні між собою.

Виберемо додатний напрямок для осі АВ , як вказано на рисун­ку 10.5.

Рис. 10.5

Застосуємо формулу (10.4):

Проектуючи цю рівність на направлення АВ , одержимо

Останній член цієї рівності пропадає, так як вектор перпен­дикулярний АВ і, отже,

Теореми і визначення, викладені в цьому розділі, можна викори­стати для графічного знаходження швидкостей точок плоскої фігури з допомогою побудови плану швидкостей.