II) Определяем дисперсию ошибки по возмущающему воздействию.

Определяем ПФ системы по ошибке от возмущающего воздействия

Wе_х(р) = – W_з(р) = –.

Величина De_v находится интегрированием

De_v = I[Wе_v(р)∙ Wф_х(р)].

ПФ формирующего фильтра возмущения v(t):

Wф_v(р) = .

Находим дисперсию ошибки, воспользовавшись табличным значением интеграла Парсеваля:

De_v(Т) = N₀∙К₂²∙I₂∙= N₀∙К₂²= ∙.

Критерий качества примет вид

Q = + ∙.

Определим оптимальное значение коэффициента усиления системы К_2опт из условия Q при естественном ограничении К₂>0, Т₂>0. Приравняем производную дисперсию ошибки по оптимизируемому параметру к нулю:

= + T₂ = 0;

= ∙ = 0.

Из второго уравнения находим

Т_2опт =

При этом первое уравнение преобразуется к виду:

–16α₂² + К₂³Т_2оптN₀ = 0→ К₂³N0 = 16α₂².

Откуда находим оптимальное значение коэффициента преобразования:

К_2опт = = = 129,9с^-2

Оптимальное значение параметра Т_{2 опт}

Т_2опт = = = 0,088 с

Определим условия устойчивости исследуемой системы и значения коэффициента передачи системы, при которых система будет устойчива.

Запишем характеристическое уравнение

1 + W_p(p) = 0;

р₂+К₂Т₂р+К₂ = 0

Составляем из коэффициентов характеристического уравнения матрицу Гурвица:

.

В соответствии с критерием устойчивости Гурвица для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительны. Раскрывая определители, получим следующие условия устойчивости: К₂ > 0; К₂Т₂ > 0.

Дополнительным требованием задания является величина запаса устойчивости для системы второго порядка астатизма, которая должна составлять 60 градусов.

Находим выражение для построения логарифмических частотных характеристик

1) Находим комплексную частотную характеристику разомкнутой системы:

Wр(jω) =.

2) Находим амплитудно-частотную характеристику разомкнутой системы

А(ω) = | Wр(jω)| = .

Логарифмируя полученное выражение, находим ЛАЧХ:

L(ω) = 20lg А(ω) = 20lgК₂+20lg– 40lgω.

График ЛАЧХ системы при К₂ = К₂опт и Т₂ = Т₂ опт представлены на рис 2.2

3) Находим фазочастотную характеристику разомкнутой системы

φ(ω) = argW_р(jω) = arctg(ωТ2) – π.

График ЛФЧХ исследуемой системы представлен на рисунке 2.3.

Из графиков определяем запас устойчивости по фазе ∆φ(ω_ср) = 19,1^o.

Чтобы величина запаса устойчивости для системы второго порядка астатизма составила 60^o, увеличим значение постоянной времени фильтра Т_2опт = 0,096.

Для заданных величин К_2опт и Т₂ величина среднеквадратической ошибки составит:

σ = = = 184,7 Гц

ГРАФИКИ

Рисунок 2.2 Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.

Рисунок 2.3Логарифмическая фазо-частотная характеристика.

Построение выполнено в MathCad 15.