Задание 2

Изложить методики оценки точности (динамические и флуктуационные ошибки), быстродействия и устойчивости статических и астатических систем (первый и второй порядок астатизма).

Определить оптимальные значения параметров динамических звеньев систем по критериям устойчивости и точности (минимуму квадрата суммы динамической и флуктуационной ошибок) для астатической системы, и системы с первым и вторым порядком астатизма. Запас устойчивости для системы второго порядка астатизма должен составлять 60 градусов. Задающие воздействия: постоянное для астатической системы, линейное – для системы первого порядка астатизма, квадратичное – для системы второго порядка астатизма. Входной шум – белый с заданной спектральной плотностью.

Системы РА подразделяются на статические и астатические. В статических системах ошибка в установившемся режиме не равна, а в астатическом равна нулю.

Рисунок 3 – График ошибки в установившемся режиме

1 – в статических системах, 2 – в астатических системах

Так же точность работы систем РА характеризуется динамическими и переходными ошибками.

Динамическая ошибка – ошибка в установившемся режиме работы системы при действии на неё нестационарного сигнала.

Переходная ошибка – ошибка при работе системы в переходном процессе, который возникает при отработке начального рассогласования.

Динамическая точность работы систем РА определяется при медленно изменяющихся входных сигналах воздействия, число производных от которых ограничено. Гармонический сигнал не является медленно изменяющимся, так как число производных от него равно бесконечности.

Переходные процессы в системах РА затухают значительно быстрее по сравнению с изменением медленно изменяющегося сигнала, поэтому и достигается установившийся динамический режим работы системы.

В соответствии с определением передаточной функции ошибки преобразование Лапласа для ошибки системы

Е(р) = W^е(р)∙Х(р) = [C₀ + C₁p + C₂ +…+ С_к∙р^k]∙Х(р) (2.1)

или в области действительного переменного

e(t) = C⁰∙x(t) + C¹∙x(t) + C²∙x(t) + … + С_k∙x^(k)(t) (2.2)

Число слагаемых в последнем выражении ограничено, так как сигнал х(t) является медленно изменяющимся воздействием. Для нахождения неизвестных коэффициентов Сi, которые называются коэффициентами ошибки, известны три способа. Первым способом эти коэффициенты вычисляются по формуле

C_k = k! W_e(p)|_p=0. (2.3)

Вторым способом коэффициенты ошибок находятся путем деления числителя передаточной функции ошибки на её знаменатель.

Наиболее удобным является третий способ. Передаточную функцию ошибки представим в виде

W_e(p) = . (2.4)

Перемножив полином знаменателя последнего выражения на (2.1), получим

[a_npⁿ+a_n-1p^n-1 + … + a₁p + a₀][C₀+C₁p+C₂p +…+ С_kp^k] =

= b_npⁿ+b_n-1p^n-1 +… + b₁p+b₀. (2.5)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р слева и справа определим формулы для последовательного вычисления коэффициентов ошибок. В результате найдем, что

С₀ = ; С₁ = [b₁ – a₁∙C₀]; С2 = [b₂ – a₂∙C₀ – a₁∙C₁].

Из выражения (2.2) следует, что коэффициенты ошибок имеют размерность сⁱ.

В инженерных расчетах коэффициенты ошибок удобнее рассчитывать через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы:

W_р(p) = . (2.6)

В таблице 1 приведены формулы для расчета первых трех коэффициентов ошибок статических и астатических систем РА через параметры передаточной функции.

Таблица 1 – Формулы расчета ошибок

v	Ci	Формулы для расчета
0	С0
	С1	К
	С2	2
1	С0	0
	С1
	С2
2	С0	0
	С1	0
	С2

Первое слагаемое в выражении (2.2) называют ошибкой по положению, а коэффициент С₀ – коэффициентом ошибки по положению, второе слагаемое – ошибкой по скорости, а коэффициент С₁ – коэффициентом ошибки по скорости. Аналогично, третье слагаемое в (2.2) называют ошибкой по ускорению, а коэффициент С₂ – коэффициентом ошибки по ускорению.

Учитывая особенности передаточных функций астатических систем РА, нетрудно установить, что в таких системах v первых коэффициентов ошибок равны нулю, где v – порядок астатизма РА.

При анализе качества работы систем РА помимо вычисления ошибок при медленно изменяющихся сигналах приходится оценивать точность и при гармонических воздействиях. В этом случае нельзя применять метод коэффициентов ошибок, так как число производных от гармонического сигнала неограниченно. Очевидно, что при этом для расчета ошибок необходимо использовать частотные характеристики. По АЧХ ошибки вычисляется амплитуда колебаний ошибки относительно входного сигнала.

Определение оптимальных значений параметров динамических звеньев систем по критериям устойчивости и точности для астатической системы, и системы с первым и вторым порядком астатизма.

Исходные данные

Задающие воздействия	Постоянное (для статической системы)	Линейное (для системы первого порядка астатизма)	Квадратичное (для системы второго порядка астатизма)	Входной шум – белый
Параметр	х(t) = α0t	х(t) = α1∙1(t)	х(t) = α2t2∙1(t)	Спектр.плотность
Значение	α0 = N = 18 МГц	α1 = 2N2 – 1 = 647 МГц/с	α2 = 2N2 + 10 = 658 МГц/с2	N0 = 2N = 36 МГц2/МГц

Оптимизация параметров следящих систем.

Для решения задачи оптимизации необходимо определить структуру системы, предъявляемые требования и ограничения, накладываемые на систему, описать воздействия и возмущения, выбрать критерий оптимизации и метод.

Обобщенная структурная схема оптимизируемой системы представлена на рисунке 2.1. При использовании функционально необходимых элементов получить заданную передаточную функцию статической системы невозможно (из-за наличия интегратора в передаточной функции дискриминатора). Поэтому рассмотрим оптимизацию астатических систем первого и второго порядка астатизма.

Рисунок 2.1 – Структурная схема оптимизируемой системы.

В качестве критерия оптимизации используем критерий минимума среднего квадрата ошибки:

Q = е_х²(t)+D_ev = min (2.1)

где е_х(t) – динамическая ошибка в системе;

D_ev – дисперсия ошибки по возмущающему воздействию.

2.1 Системы ФАПЧ статическими быть не могут.

2.2 Астатическая система первого порядка.

Оптимизируем параметр К₁ в астатической системе первого порядка в которой задающее воздействие х(t) – детерминированная функция, а возмущение – случайный процесс v(t).

Определяем ПФ разомкнутой системы в простейшем виде:

W_р(р) = W_Д(р)∙W_ф(р)∙W_УГ(р) =

где К₁ = К_Д∙К_ф∙К_УГ – коэффициент усиления системы;

Инерционностью всех функционально-необходимых элементов пренебрегаем.

Исходные данные

х(t) = α₁∙1(t); N_v(ω) = N₀ = const.

Необходимо определить К₁ по критерию (2.1)

I) Определяем динамическую ошибку системы

Определяем ПФ замкнутой системы

W_з(р) = = = .

Определяем ПФ ошибки по задающему воздействию

Wе_х(р) = 1 – W_з(р) = 1 – = .

Находим изображение ошибки управления.

Так как воздействием является линейная функция х(t) = α₁∙1(t) с изображением

х(р) = α₁∙ , то изображение ошибки управления

е_х²(р) = х(р)∙ Wе_х(р) = ∙.

Находим установившееся значение ошибки в соответствии с теоремой о конечном значении функции:

е_{х уст} = (рх(р)∙ Wе_х(р)) = (p∙∙) = .

II) Определяем дисперсию ошибки по возмущающему воздействию.

Определяем ПФ системы по ошибке от возмущающего воздействия

Wе_х(р) = – W_з(р) = –.

Величина D_ev находится интегрированием

De_v = I[Wе_v(р)∙ Wф_х(р)].

ПФ формирующего фильтра возмущения v(t):

Wф_v(р) = .

Находим дисперсию ошибки, воспользовавшись табличным значением интеграла Парсеваля:

De_v(Т) = N₀∙К₁²∙I₁∙= N₀∙К₁²= ∙К₁.

Критерий качества примет вид

Q = + ∙К₁.

Определим оптимальное значение коэффициента усиления системы К_1опт из условия Q при естественном ограничении К₁>0. Приравняем производную дисперсию ошибки по оптимизируемому параметру к нулю:

= + = 0

Получим К_1опт = = = 415,8 с^-1

Для рассчитанной величины К1опт величина среднеквадратической ошибки составит σ = = = 91,6 Гц

Определим условия устойчивости исследуемой системы и значения коэффициента передачи системы, при которых система будет устойчива.

Запишем характеристическое уравнение

1 + W_p(p) = 0.

На основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица-Рауса требуется, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны, т.е. требуется выполнение неравенства К₁>0, откуда следует значение критического коэффициента усиления системы К_{1 крит} = ∞. При этом физическая реализация такой системы оказывается невозможной из-за наличия инерционных элементов в реальных системах.

2.3 Астатическая система второго порядка.

Оптимизируем параметры К₂ и Т₂ в астатической системе второго порядка

(рис. 2.1), в которой задающее воздействие х(t) – детерминированная функция, а возмущение – случайный процесс v(t).

Определим ПФ разомкнутой системы в простейшем виде:

W_р(р) = W_Д(р)∙W_ф(р)∙W_УГ(р) = ,

где К₁ = К_Д∙К_ф∙К_УГ – коэффициент усиления системы;

Т₂ = Т_ф, инерционностью остальных элементов пренебрегаем.

Исходные данные

х(t) = α₁²∙1(t); N_v(ω) = N₀ = const.

Необходимо определить К₂ и Т2 по критерию (2.1)

I) Определим динамическую ошибку системы

Определим ПФ замкнутой системы

W_з(р) = = = .

Определим ПФ ошибки по задающему воздействию

Wе_х(р) = 1 – W_з(р) = 1 –= .

Находим изображение ошибки управления.

Так как воздействием является линейная функция х(t) = α₂t²∙1(t) с изображением

х(р) = 2α₂∙ , то изображение ошибки управления

е_х²(р) = х(р)∙ Wе_х(р) = ∙.

Находим установившееся значение ошибки в соответствии с теоремой о конечном значении функции:

е_{х уст} = рх(р)∙ Wе_х(р) = p∙∙ = .