
Интервал.
При преобразовании координат различные физические и геометрические величины, вообще говоря, изменяют свои численные значения. Это означает, что такие величины характеризуют не какое-либо объективное свойство точки, а лишь положение точки относительно конкретной системы координат.
В то же время, величины, сохраняющие свои численные значения при преобразованиях координат, отражают свойства самих изучаемых явлений и предметов и называются инвариантами преобразований.
Перед каждой теорией, в том числе и СТО, стоит задача отыскания таких величин (и законов).
Если в механике Ньютона такими величинами являлись расстояние между двумя точками и промежутки времени, то в релятивистской механике такая инвариантность утрачена.
В специальной теории относительности постулируется инвариантность скорости света в вакууме с. Другой инвариантной величиной в релятивистской механике является так называемый интервал между событиями 1 и 2, квадрат которого определяется как
(6.1)
где
промежуток
времени между событиями 1 и 2 и
расстояние
между точками, в которых происходят
данные события, определенные в одной и
той же системе отсчета (
).
В
инвариантности интервала легко убедиться,
непосредственно вычислив его в
и
системах
отсчета. Если координатные оси обеих
систем ориентированы обычным образом
и
система
движется относительно
системы
со скоростью
в направлении оси
,
то из преобразований Лоренца следует
;
;
;
Тогда
.
Т.о.,
мы показали, что интервал действительно
является величиной инвариантной
относительно преобразований Лоренца,
поэтому утверждение
о том, что два
события разделены некоторым интервалом
,
имеет абсолютный
характер
для всех инерциальных систем отсчета.
Для событий, происходящих на бесконечно малом удалении друг от друга, можем записать
.
(6.2)
Инвариантность интервала является математическим выражением постоянства скорости света.
6.2. Пространство Минковского.
Немецкий
ученый Г. Минковский (1864-1909) предложил
геометрический метод описания
пространственно-временных соотношений,
в котором по правилам, определяемым
преобразованиями Лоренца, каждому
событию
ставятся в соответствие три
пространственных и одна временная
координаты.
Совокупность (
)
представляет собой мировую
точку,
характеризующую некоторое событие; всё
многообразие мировых точек образует
четырехмерное
пространство,
называемое пространством Минковского,
или миром.
Линия в пространстве Минковского -
мировая
линия. Каждой
частице, даже неподвижной, в пространстве
Минковского соответствует мировая
линия.
Геометрия
пространства Минковского определяется
инвариантным относительно преобразований
Лоренца расстоянием между двумя мировыми
точками. Выражения (6.1) и (6.2) позволяют
с формальной математической точки
зрения рассматривать интервал как
расстояние между двумя точками в
воображаемом четырехмерном пространстве
с координатами
.
В этом смысле интервал в четырехмерном
пространстве Минковского аналогичен
длине отрезка в «обычном» трехмерном
пространстве в классической механике.
Имеется, однако, существенное отличие:
при образовании квадрата интервала
квадраты разности координат по различным
осям суммируются не с одинаковыми, а с
различными знаками. Поэтому четырехмерную
геометрию, определяемую квадратичной
формой (6.2), называют псевдоевклидовой.
-
радиус-вектор
пространства-времени.
Совокупность
координат события
можно рассматривать как компоненты
четырехмерного радиус-вектора в
четырехмерном пространстве-времени.
Поэтому
-радиус-вектором
пространства-времени называют совокупность
четырех величин
:
,
(6.3)
или
,
(6.4)
преобразующихся по определенному правилу:
;
(6.5)
;
(6.6а)
;
(6.6в)
.
(6.6с)
Примечание. Величины, снабженные верхним индексом, носят название контравариантных; нижним –
ковариантных.
Формулы полного преобразования Лоренца могут быть записаны в виде:
(6.7)
Если
ввести матрицу преобразования
,
то:
(6.8)
где подразумевается суммирование по повторяющимся значкам, а сама матрица имеет вид:
(6.9)
Поэтому преобразования Лоренца представляются в виде:
(6.10)
Обратное преобразование:
(6.11)
Квадрат “длины” -радиус-вектора есть квадрат интервала, отсчитанный от начала системы отсчета:
.
(6.12)
Совокупность
четырех осей
,
имеющих общее начало, можно в широком
смысле назвать системой координат.
Тогда формально преобразования Лоренца сводятся к повороту координатных осей – мерного пространства.
“Длина” – радиус-вектора при любых поворотах четырехмерной системы координат, в частности при преобразованиях Лоренца, всегда сохраняется.