17.5. Выражения для тензора инерции и его компонент в декартовых координатах.

Найдем выражение для тензора инерции.

Представим момент импульса твердого тела относительно его центра масс как сумму моментов кусочков массой относительно того же начала:

. (16.17)

Двойное векторное произведение расписываем по известному правилу векторной алгебры:

. (16.18)

Тогда

Найдем теперь проекцию вектора на ось , имея в виду что

и :

Расписывая аналогично другие проекции вектора , получаем выражение для тензора момента инерции в виде:

. (16.19)

Тензор (16.19) симметричный, т.е. , где , поэтому он содержит всего шесть независимых компонент.

Тензор (16.19) и его компоненты вычисляются путем интегрирования по всем элементарным массам, так, например:

. (16.20)

Если совместить координатные оси ( ) с главными осями инерции, то тензор (16.19) становится диагональным:

. (16.21)

3. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Найдем сначала кинетическую энергию твердого тела, обусловленную его вращательным движением.

С этой целью перейдем в систему центра масс (инерции) и мысленно разобьем тело на маленькие кусочки.

Если угловая скорость всех точек тела одинакова, можем записать для любого кусочка ,

движущегося со скоростью и находящегося на расстоянии от оси

вращения:

Суммируя по всем кусочкам или, проведя разбиение тела на

элементарные массы и интегрируя по объему тела, получаем

. (16.22)

16.4. Кинетическая энергия тела при плоском движении.

Несмотря на кажущуюся простоту уравнений (16.2) решение их в общем виде, как уже отмечалось, представляет весьма сложную задачу. Например, разделение кинетической энергии твердого тела, совершающего произвольное движение, на две независимые части, ответственные за поступательное и вращательное движение, возможно лишь в том случае, когда начало подвижной системы координат выбрано в центре инерции тела.

Существенно проще обстоит дело с описанием частного случая движения твердого тела, известного как плоское движение.

Пусть тело совершает в инерциальной системе, так называемое, плоское движение, т.е. такое, при котором все точки тела движутся параллельно одной плоскости, неподвижной в данной системе отсчета. Другими словами, центр масс тела в течение всего времени движения остается в одной плоскости, и тогда в системе тело совершает только вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Упрощающим рассмотрение плоского движения обстоятельством служит то, что вектор угловой скорости сохраняет в этом случае свое постоянное направление в пространстве, перпендикулярное плоскости движения, и не изменяет своей ориентации относительно тела.

Энергия поступательного движения тела определяется известной формулой

,

где скорость, одинаковая для всех течек тела.

Кинетическую энергию плоского движения твердого тела, одновременно совершающего поступательное и вращательное (относительно оси, проходящей через центр инерции) движение можно представить в виде суммы:

, (16.23)

где момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции.

Покажем это.

В лабораторной системе отсчета ( система) имеем

Здесь - скорость центра инерции твердого тела (скорость системы).

Последний член выражения преобразуем с помощью формулы векторной алгебры (циклическая перестановка):

Здесь мы воспользовались тем, что для системы центра инерции .

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в системе и энергии поступательного движения центра инерции (16.23).

Пример:

Скатывание цилиндра по наклонной плоскости:

Обратим внимание на формальную аналогию описания поступательного и вращательного движения:

Поступательное Вращательное Связь

Перемещение Угол поворота

Скорость Угловая скорость

Ускорение Угловое ускорение

Импульс Момент импульса

Сила Момент силы

Масса Момент инерции

Основное уравнение динамики

.

Демонстрация - скамья Жуковского:

1. Система: вращающаяся скамья + демонстратор, держащий в руках прижатыми к телу гантели ( ).

При разведении рук с гантелями угловая скорость вращения системы уменьшается, т.к.

2. Демонстратор, находящийся на неподвижной скамье, держит в руках вращающееся велосипедное колесо.

При изменении направления оси вращения колеса скамья приходит в движение, поскольку сохраняется

момент импульса вдоль оси вращения скамьи.

Углы Эйлера, уравнения Эйлера, гироскопы.