9

1.16. Динамика твердого тела.

1. Движение твердого тела.

Определение. Твердое тело - система материальных точек, расстояния между которыми неизменны.

Такое определение справедливо для абсолютно твердого тела, в реальности это приближение.

Для описания движения абсолютно твердого тела обычно вводят две системы координат: лабораторную систему с осями , связанную с точкой , и систему с началом в точке и осями .

Штрихованная система отсчета жестко связана с твердым телом, поэтому в лабораторной системе отсчета его положение однозначно определяется положением движущейся системы отсчета, т.е. положением её начала координат и ориентацией осей .

Т.о., движущаяся система отсчета и, соответственно, твердое тело описываются тремя компонентами радиус-вектора точки и тремя независимыми углами, определяющими ориентацию осей штрихованной системы координат в лабораторной системе.

Говорят, что всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы.

В общем случае движение твердого тела представляет собой

весьма сложный процесс, непосредственное описание которого

может быть сопряжено с практически не преодолимыми

трудностями. Однако законы механики позволяют подойти к

решению этой задачи дифференцированно, рассматривая

движение твердого тела как совокупность совершаемых

одновременно поступательного движения и вращения.

Даже при этом получаемые уравнения (16.2), несмотря на их

кажущуюся простоту представляют собой весьма трудную

задачу.

Общее правило: произвольное движение твердого тела можно представить в виде совокупности поступательного движения всего тела со скоростью какой-либо его точки и вращения этого тела вокруг оси, проходящей через эту точку.

При этом скорость поступательного движения зависит от выбора точки , а скорость вращения (угловая скорость ) от этого выбора не зависит (в этом смысле - абсолютна).

Как правило, в качестве точки выбирают центр инерции тела, задаваемый в системе радиус-вектором и скоростью его движения .

В этом случае бесконечно малое перемещение любой точки рассматриваемого твердого тела и её мгновенная скорость могут быть определены как

(16.1)

Как для системы материальных точек для твердого тела можно написать два уравнения, которые полностью описывают его движение:

. (16.2)

Поскольку уравнения (16.2) векторные, то для описания движения твердого тела мы имеем шесть уравнений с шестью переменными. Решение системы этих уравнений позволяет решить задачу о движении твердого тела.

Примечания:

Следует отметить, что только бесконечно малые (элементарные) повороты можно рассматривать как векторы. Другими словами, только в этом случае перемещение можно представить как векторное произведение

,

поскольку только в пределах бесконечно малого поворота радиус-вектор можно считать неизменным. Для малого, но конечного приращения угла поворота это условия не выполняется.

2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции.

Рассмотрим вращение твердого тела, перейдя в систему центра инерции ( систему).

В системе твердое тело совершает только вращательное движение вокруг оси, проходящей через точку .

Пусть для определенности вращение происходит вокруг оси , и эта ось неподвижна. Тогда для материальной точки массой можно записать (см. рис.):

(16.3)

Здесь проекция момента импульса этой точки на ось вращения, а расстояние до оси .

Момент импульса твердого тела относительно оси мы получим, если просуммируем по всем материальным точкам системы, имея в виду, что все они вращаются с одинаковой угловой скоростью , направленной вдоль оси :

(16.4)

где (16.5)

Определение: Величина , равная сумме произведений масс материальных

точек системы на квадраты их расстояний до оси вращения, называется

моментом инерции системы относительно этой оси.

Для твердого тела (непрерывное распределение массы) момент инерции

определяется формулой:

, (16.6)

где плотность вещества в данной точке, и элемент объема и массы тела.

Элемент объема: - в декартовой системе координат;

- в цилиндрической системе координат;

- в сферической системе координат.

Свойства момента инерции.

Момент инерции твердого тела зависит от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной.

Момент инерции твердого тела зависит от положения оси вращения.

Сосчитаем моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно их осей симметрии.

а) Момент инерции тонкого диска радиусом относительно оси вращения, проходящей по диаметру диска.

Пусть масса однородного диска , а его радиус и толщина

равны и , соответственно, причем .

Момент инерции элементарной массы относительно оси,

проходящей по диаметру диска определяется выражением

,

где площадь поверхности элемента ,

лежащей в плоскости рисунка записана

в полярных координатах.

Тогда

Учитывая, что , получаем

. (16.7)

б) Момент инерции цилиндра (диска) относительно оси симметрии (проходящей через точку перпендикулярно плоскости рисунка).

Пусть масса однородного диска , а его радиус и толщина равны и , соответственно.

Тогда момент инерции элементарной массы равен

,

где плотность диска, расстояние до оси

вращения, а элемент объема взят в цилиндрической

системе координат.

Интегрируя по углу , радиусу и координате ,

и учитывая, что, как и в предыдущем случае,

,

находим момент инерции диска (цилиндра):

. (16.8)

в) Момент инерции однородного шара массой и радиусом относительно оси, проходящей через его центр.

Эту задачу удобнее рассматривать в сферической системе координат, тогда момент инерции элементарного кусочка можно записать как

,

где - расстояние кусочка массой до оси вращения, плотность шара. Интегрируя по всем переменным:

и учитывая, что масса шара равна , получаем момент инерции шара относительно оси симметрии:

. (16.9)