Министерство образования и науки Украины

Севастопольский государственный технический университет

Кафедра информационных систем

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

на тему «Код Рида-Соломона с исправлением 4-х кратных ошибок»

по курсу «Кодирование и защита информации»

Выполнила:

ст. гр. И – 23д

Боженко Е.В.

Проверила:

Василенко В. А.

Севастополь

2001

АННОТАЦИЯ

История кодирования, контролирующего ошибки, началась в 1948 г публикацией знаменитой статьи Клода Шеннона. Шеннон показал, что с каждым каналом связано измеряемое в битах в секунду и называемое пропускной способностью канала число С.

Если требуемая от системы связи скорость передачи информации R (измеряется в битах в секунду) меньше С, то, используя коды, контролирующие ошибки, для данного канала можно построить такую систему связи, что вероятность ошибки на выходе будет сколь угодно мала.

Из шенноновской теории информации следует тот важный вывод, что построение слишком хороших каналов является расточительством; экономически выгоднее использовать кодирование. Шеннон, однако, не указал, как найти подходящие коды, а лишь доказал их существование. В пятидесятые годы много усилий было потрачено на попытки построения в явном виде классов кодов, позволяющих получить малую вероятность ошибки, но результаты были скудными.

Основной сдвиг произошел, когда Боуз и Рой-Чоудхури (1960) и Хоквингем (1959) нашли большой класс кодов, исправляющих кратные ошибки (коды БЧХ), а Рид и Соломон (1960) нашли связанный с кодами БЧХ класс кодов для недвоичных каналов (код Рида-Соломона).

Открытие кодов БЧХ привело к поиску практических методов построения жестких и мягких реализаций кодеров и декодеров. Данные, поступающие в систему связи от источника данных, прежде всего обрабатываются кодером источника, предназначенным для более компактного представления данных источника. А декодер канала использует избыточность кодового слова канала для того, чтобы исправить ошибки в принятом слове, и затем выдает оценку кодового слова источника. Если все ошибки исправлены, то оценка кодового слова источника совпадает с исходным кодовым словом источника. И к началу 80-х годов кодеры и декодеры начали появляться в новейших конструкциях цифровых систем связи и цифровых систем памяти.

В данной пояснительной записке особое внимание уделяется коду Рида-Соломона с исправлением 4-х кратных ошибок. При некоторых условиях циклические коды Рида-Соломона (РС) являются частным случаем кодов БЧХ. Коды РС обладают огромной корректирующей способностью и позволяют исправлять несколько пачек ошибок.

С ОДЕРЖАНИЕ Введение ………………………………………………………………………. 1.Код Рида-Соломона с исправлением 4-х кратных ошибок……………….. Библиография ………………………………………………………………… Приложение А …………………………………………………………………
					КУРСОВАЯ РАБОТА
Из	Лист	N докум.	Подп.	Дата
Разраб.		Боженко			ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА	Лит			Лист	Листов
Провер.		Василенко
						КАФЕДРА Информационных систем Группа И-33д
Н. Контр
Утв.

Введение

Целью настоящей курсовой работы является закрепление знаний, получаемых в процессе изучения дисциплины «Кодирование и защита информации».

Задача данной курсовой работы состоит в следующем:

• изучить требуемый раздел дисциплины;

• подобрать и разработать алгоритм решения поставленной задачи;

• написать программу, соответствующую разработанному алгоритму, отладить ее;

Тема курсовой работы – код Рида-Соломона с исправлением 4-х кратных ошибок.

При некоторых условиях циклические коды Рида-Соломона (РС) являются частным случаем кодов БЧХ. Коды РС обладают огромной корректирующей способностью и позволяют исправлять несколько пачек ошибок.

1.Код Рида-Соломона

Особую группу систематических кодов составляют коды циклические, которые могут обнаруживать и исправлять как одиночные, так и пакеты ошибок. И называются так потому, что все разрешенные комбинации этого кода могут быть получены из одной кодовой комбинации слева направо с переносом младшего разряда в старший.

Комбинацию циклического кода можно представить в двоичном коде либо в виде многочлена с фиктивной переменной х:

F(x)=an-1x +an-2x +…+a1x+a0

К кодам построенным по циклическому принципу относятся следующие разновидности:

Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ), Файра, Абрамсона, Рида-Соломона.

Рассмотрим подробнее код Рида-Соломона. При некоторых условиях циклические коды Рида-Соломона (РС) являются частным случаем кодов БЧХ. Коды РС обладают огромной корректирующей способностью и позволяют исправлять несколько пачек ошибок. Предположим, что задан корректирующий код с основанием m>2, в комбинациях которого можно исправлять ошибки кратности tи . допустим, что каждому символу этого кода поставлена во взаимно-однозначное соответствие некоторая n1-значная двоичная комбинация. Тогда полученный таким образом двоичный код может исправлять пачки ошибок длиной b=n1(t1 –1)+1 и менее. Код с указанными свойствами образуется в том случае, если основание m=2ª , длина n=a(2ª-1) и образующий полином

P(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αd-1) (1),

где α – примитивный элемент поля GF(2ª).

Коды указанного типа носят название кодов Рида-Соломона. Из (1) степень многочлена Р(х) равна d-1. В результате получается код длины n с d-1 проверочными разрядами и минимальным расстоянием d.

Коды построены на полях Галуа. Которые в качестве элемента могут иметь элементом простое число, но каждый символ кодируется некоторой двоичной комбинацией.

Чаще всего используется двоичные поля Галуа, где m-некоторое натуральная степень двойки:

GF (q) Представляют либо группу, либо кольцо.

GF(2 ) Группа конечная или бесконечная.

Для кодов используют конечную группу. Основание может быть и не двоичное:

GF(α )

Операции в поле Галуа проводятся по правилам с приведением результата по некоторому модулю. Если в качестве элемента используется простое число, приведение по этому числу. Если поле Галуа с элементом 2 , то по этому порядку (степени) осуществляется приведение по модулю.

Для поля Галуа используется GF(2 ). В качестве образующего мы берем полином

Р(х)=х +х+1, если группа конечна, то используют элементы начиная от 0 до W-1.

α0= 1, α1, α2,…, αw-1

W-означает, что α =1.

Корректирующая способность кода связана с этим конечным элементом (αw-1).

Полином Рида-Соломона является НОК:

Р(р-с)(х)=(х+ α)(х+ α²)(х+ α³)…(х+ α² )

Где 2t – есть кратное исправление ошибок.

Сами элементы поля можно представить различными способами: в виде многочлена с фиктивной переменной х, в десятичном виде, в двоичном виде.

То обстоятельство, что коды РС при любой заданной скорости имеют наибольшее возможное минимальное расстояние, делает их привлекательными с точки зрения практического использования.

В то же время структура этих кодов допускает относительно простую техническую реализацию, поэтому практическое применение не только желательно, но и возможно.